Calcule as seguintes integrais
integral raiz16-x^2 d x; (Não use integrais tabelada);

Passo 1

O enunciado pede pra calcular integral raiz16 - x^2,dx. Esse é um caso clássico de integral de raiza^2 - x^2, e a estratégia é usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
x = 4sintheta,
então
dx = 4costheta,dtheta
e a raiz fica
raiz16 - x^2 = raiz16 - 16sin^2theta = 4costheta
Essa escolha simplifica o radical.

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral raiz16 - x^2,dx = integral (4costheta) cdot (4costheta,dtheta) = 16integral cos^2theta,dtheta
Para continuar, usamos a identidade
cos^2theta = 1 + cos 2theta2
Então
16integral cos^2theta,dtheta = 16 integral 1 + cos 2theta2,dtheta = 8 integral (1 + cos 2theta),dtheta

Passo 4

Agora integramos:
8 integral (1 + cos 2theta),dtheta = 8l(theta + 12sin 2thetar) + C = 8theta + 4sin 2theta + C
Como sin 2theta = 2sinthetacostheta, isso vira
8theta + 8sinthetacostheta + C

Passo 5

Fazendo a volta para x: temos sintheta = tfracx4, costheta = tfracraiz16 - x^24 e theta = arcsinl(tfracx4r). Logo,
8theta + 8sinthetacostheta = 8arcsinl(tfracx4r) + 8cdot x4cdot raiz16 - x^24 = 8arcsinl(tfracx4r) + x2raiz16 - x^2

Passo 6

Pronto! Apresentando em ordem costuma ficar:
x2raiz16 - x^2 + 8arcsinl(tfracx4r) + C

Resposta

x2raiz16 - x^2 + 8arcsinl(x4r) + C

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