Calcule, caso existam, os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o limite, quando x→−∞, de uma função racional cujos numerador e denominador são polinômios de grau 5. O conteúdo aqui é limite de função polinomial racional e vamos precisar usar a ideia de que, para x muito grande (em módulo), só interessa o termo de maior grau.
Passo 2
Identificamos que o grau do numerador e do denominador é 5. Para explorar isso, dividimos cada termo do numerador e do denominador por x⁵, o que nos ajuda a ver o comportamento dominante conforme x cresce em módulo.
Depois de dividir por x⁵, reescrevemos a expressão assim:
Depois de dividir por x⁵, reescrevemos a expressão assim:
[
\frac{2x5-3x3+2x2-1}{3x5-4x+1}
=\frac{x5\bigl(2-\tfrac{3}{x2}+\tfrac{2}{x3}-\tfrac{1}{x5}\bigr)}{x5\bigl(3-\tfrac{4}{x4}+\tfrac{1}{x^5}\bigr)}
=\frac{2-\tfrac{3}{x2}+\tfrac{2}{x3}-\tfrac{1}{x5}}{3-\tfrac{4}{x4}+\tfrac{1}{x^5}}.
\frac{2x5-3x3+2x2-1}{3x5-4x+1}
=\frac{x5\bigl(2-\tfrac{3}{x2}+\tfrac{2}{x3}-\tfrac{1}{x5}\bigr)}{x5\bigl(3-\tfrac{4}{x4}+\tfrac{1}{x^5}\bigr)}
=\frac{2-\tfrac{3}{x2}+\tfrac{2}{x3}-\tfrac{1}{x5}}{3-\tfrac{4}{x4}+\tfrac{1}{x^5}}.
Passo 3
À medida que x→−∞, todos os termos que têm x no denominador vão a zero. Ou seja,
,
,
e
→ 0. Então o quociente dentro dos parênteses tende a
.
Concluímos que o limite existe e vale , pois os termos de menor ordem desaparecem e sobram apenas os coeficientes dos termos de grau máximo.
Concluímos que o limite existe e vale