Calcule, caso existam, os limites abaixo.
lim substackx -infty x +infty 2 x-1raiz4 x^2-x

Passo 1

O enunciado pede os dois limites
limxto+infty2x-1raiz4x^2 - x e limxto-infty2x-1raiz4x^2 - x
Este é um caso de limite no infinito de quociente em que o denominador envolve uma raiz quadrada. Vamos usar fatoração do termo dominante para analisar o comportamento em cada direção.

Passo 2

Fatoramos x^2 dentro da raiz para expor o módulo de x:
raiz4x^2 - x = raizx^2l(4 - tfrac1xr) = |x|raiz4 - tfrac1x
Então
2x-1raiz4x^2 - x = 2x - 1|x|raiz4 - tfrac1x

Passo 3

Para xto+infty temos |x|=x. Logo
2x-1raiz4x^2 - x = 2x - 1xraiz4 - tfrac1x = 2 - tfrac1xraiz4 - tfrac1x
Quando xto+infty, tfrac1xto0, então
limxto+infty2x-1raiz4x^2 - x = 2 - 0raiz4 - 0 = 22 = 1

Passo 4

Para xto-infty temos |x|=-x. Assim
2x-1raiz4x^2 - x = 2x - 1(-x)raiz4 - tfrac1x = -,2 - tfrac1xraiz4 - tfrac1x
Quando xto-infty, tfrac1xto0, daí
limxto-infty2x-1raiz4x^2 - x = -,2 - 0raiz4 - 0 = -,22 = -1

Resposta

limxto+infty2x-1raiz4x^2 - x = 1
limxto-infty2x-1raiz4x^2 - x = -1

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