Calcule, caso existam, os limites abaixo.
lim substackx +infty x -infty raiz9 x^2-16 x-3

Passo 1

O enunciado pede os dois limites
limxto+inftyraiz9x^2-16x-3 e limxto-inftyraiz9x^2-16x-3
O conteúdo é cálculo de limites no infinito, usando fatoração dentro da raiz e separação do sinal de x. Vamos reescrever a expressão de forma a isolar o comportamento dominante quando lvert xrvert é grande.

Passo 2

Para xto+infty temos lvert xrvert = x. Observe:
raiz9x^2-1 = |x|,raiz9 - 1x^2 = xraiz9 - 1x^2
Logo
raiz9x^2-16x-3 = xraiz9 - 1x^2xl(6 - 3xr) = raiz9 - 1x^26 - 3x
À medida que xto+infty, 1x^2to 0 e 3xto0. Portanto
limxto+inftyraiz9x^2-16x-3 = raiz96 = 36 = 12

Passo 3

Para xto-infty temos lvert xrvert = -x. Então
raiz9x^2-1 = |x|raiz9 - 1x^2 = -xraiz9 - 1x^2,
e
raiz9x^2-16x-3 = -xraiz9 - 1x^2xl(6 - 3xr) = -raiz9 - 1x^26 - 3x
Agora, quando xto-infty, de novo 1x^2to0 e 3xto0. Logo
limxto-inftyraiz9x^2-16x-3 = -raiz96 = -36 = -12

Resposta

limxto+inftyraiz9x^2-16x-3 = 12, limxto-inftyraiz9x^2-16x-3 = -12

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