Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de L’Hopital):
lim t +infty cos (t-1)t^2-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limt to +infty cos(t-1)t^2 - 1
O conteúdo principal é usar as leis dos limites e, em especial, o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), já que não podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Sabemos que, para todo t, vale
-1 ;<=;cos(t-1);<=;1
Para t>1 temos t^2-1>0, então podemos dividir a desigualdade pelo positivo t^2-1 sem inverter os sinais:
-1t^2-1 ;<=; cos(t-1)t^2-1 ;<=; 1t^2-1

Passo 3

Agora calculamos os limites das funções que “enquadram” a nossa:
limtto+inftyl(-tfrac1t^2-1r) = 0, limtto+infty1t^2-1 = 0,
porque t^2-1to+infty implica 1/(t^2-1)to0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
-1t^2-1 ;<=; cos(t-1)t^2-1 ;<=; 1t^2-1
e ambos os limites das bordas são 0, segue que
limt to +infty cos(t-1)t^2 - 1 = 0

Resposta

O valor do limite é 0.

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