Derive as seguintes funções usando a regra da cadeia ou usando a derivação implícita:
f(x)=(x+1)^x^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (x+1)^x^2+1
Aqui tanto a base x+1 quanto o expoente x^2+1 variam com x, então vamos usar log-diferenciação (uma aplicação da regra da cadeia) para simplificar.

Passo 2

Começamos definindo
y = f(x) = (x+1)^x^2+1
e aplicando o logaritmo natural aos dois lados:
ln y = lnl((x+1)^x^2+1r) = (x^2+1),ln(x+1)

Passo 3

Derivamos implicitamente ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo vem
1y,y',
e do direito, pela regra do produto e da cadeia,
ddxl[(x^2+1)ln(x+1)r] =2xln(x+1)+(x^2+1),1x+1
Logo
y'y = 2xln(x+1)+x^2+1x+1

Passo 4

Isolando y' e lembrando que y=f(x), obtemos
y' = y;l[2xln(x+1)+x^2+1x+1r] = (x+1)^x^2+1l[2xln(x+1)+x^2+1x+1r]

Resposta

f'(x) = (x+1)^x^2+1l[2xln(x+1)+x^2+1x+1r]

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