Determine o domínio das seguintes funções e represente-os graficamente:
f(x, y)=ln (4-raizx^2-y^2)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=lnl(4-raizx^2-y^2r)
Para isso precisamos usar duas propriedades:
  1. O radical existe se e somente se o elemento dentro dele é não-negativo, ou seja raizx^2-y^2 requer
x^2 - y^2 >= 0
  1. O logaritmo natural exige argumento estritamente positivo, ou seja
4 - raizx^2-y^2 > 0

Passo 2

Analisando a condição do radical, temos
x^2 - y^2 >= 0 Long<=ftrightarrow |x|>=|y|,
que geometricamente é a região entre as retas
y = x e y = -x

Passo 3

Da condição do logaritmo vem
4 - raizx^2-y^2 > 0 Long<=ftrightarrow raizx^2-y^2 < 4 Long<=ftrightarrow x^2 - y^2 < 16

Passo 4

Combinando as duas desigualdades obtemos
0 <= x^2 - y^2 < 16
Ou seja, o domínio é
D = l(x,y)inR^2 mid 0 <= x^2 - y^2 < 16r

Passo 5

Graficamente, D é a união de dois “biscos” simétricos em torno do eixo x.
  • As fronteiras interiores x^2 - y^2=0 são as retas y=pm x.
  • As fronteiras exteriores x^2 - y^2=16 são os ramos da hipérbole com assimptotas y=pm x.
    A região válida fica entre essas retas e dentro dos ramos da hipérbole, excluindo as hipérboles (já que x^2-y^2<16) e incluindo as retas (já que x^2-y^2>=0).

Resposta

D = l(x,y)inR^2 : 0 <= x^2 - y^2 < 16r,
isto é, o conjunto de pontos entre as retas y=pm x e dentro da hipérbole x^2-y^2=16.

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