Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{2 x-4}{x-2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 2}\Bigl(\frac{2x-4}{x-2}\Bigr)^{2}.
Isso envolve limite de expressão racional que, ao substituir x=2, dá forma \tfrac{0}{0}, ou seja, indeterminado. Vamos usar fatoração para simplificar.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada ao calcular diretamente:
2x-4\bigl\vert_{x=2}=0,\quad x-2\bigl\vert_{x=2}=0,
logo \tfrac{2x-4}{x-2}\bigl\vert_{x=2}=\tfrac{0}{0}. Precisamos então fatorar e simplificar antes de tomar o limite.

Passo 3

Fatorando o numerador temos
2x-4 = 2\,(x-2).
Para x\neq 2, a expressão fica
\Bigl(\frac{2x-4}{x-2}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{2\,(x-2)}{x-2}\Bigr)^{2} =\bigl(2\cdot 1\bigr)^{2} =2^{2}.

Passo 4

Como, após simplificação, a função é constante igual a 4 em todo entorno de x=2 (exceto no próprio x=2), o limite é esse valor constante.

Resposta

4

Exercícios relacionados