Dê exemplo em cada caso.
Uma função f: \mathbb{R}-\{3\} \rightarrow \mathbb{R} tal que \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)

Passo 1

O enunciado pede exemplos de funções \;f:\mathbb{R}\setminus\{3\}\to\mathbb{R}; tais que
\lim_{x\to3^-}f(x)\;=\;\lim_{x\to3^+}f(x).
Em outras palavras, as limites laterais em x=3 coincidem. Podemos pensar em pelo menos dois “casos” de limite: finito e infinito. A seguir damos exemplos para cada caso.

Passo 2

Caso 1: limite finito.
Defina
f(x)=\frac{x^2-9}{\,x-3\,},\quad x\neq3.
Como
\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\quad (x\neq3),
temos
\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^+}f(x)=3+3=6.

Passo 3

Caso 2: limite igual a +\infty.
Defina
f(x)=\frac{1}{(x-3)^2},\quad x\neq3.
Como o denominador tende a 0 e é sempre positivo,
\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty.

Passo 4

Caso 3: limite igual a -\infty.
Defina
f(x)=-\frac{1}{(x-3)^2},\quad x\neq3.
Aqui o denominador novamente tende a 0 e é positivo, mas o sinal “ -” faz com que
\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^+}f(x)=-\infty.

Resposta

Exemplos de f:\mathbb{R}\setminus\{3\}\to\mathbb{R} com limites laterais iguais em x=3:
(a) f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}, lim =6 (finito).
(b) f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}, lim = +\infty.
(c) f(x)=-\dfrac{1}{(x-3)^2}, lim = -\infty.

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