Utilizando as propriedades dos limites, calcule, caso existam, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{x+6}-2}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{x+6}-2}{x-2}.
Este tipo de limite envolve uma raiz cúbica e na forma “diferença” sobre “x–constante”. Para resolver, vamos usar a fatoração de diferença de cubos, que é a técnica padrão para eliminar radicais nesse tipo de quociente.

Passo 2

Definimos
a = \sqrt[3]{x+6},
ou seja, a^3 = x+6. Assim,
x-2 = (a^3 - 8)
porque 8 = 2^3. O numerador também fica em função de a:
\sqrt[3]{x+6} - 2 = a - 2.

Passo 3

Usamos a identidade de fatoração de diferença de cubos:
a^3 - 2^3 = (a - 2)\,(a^2 + 2a + 4).
Logo,
x-2 = a^3 - 8 = (a-2)(a^2 + 2a +4).
Substituindo no quociente original, temos
\frac{\sqrt[3]{x+6}-2}{x-2} = \frac{a-2}{(a-2)\,(a^2 + 2a +4)} = \frac{1}{a^2 + 2a +4},
sempre que a\neq2, o que cobre o caso de x\neq2.

Passo 4

Ao fazermos x\to2, temos a = \sqrt[3]{2+6} = \sqrt[3]{8} = 2. Então
\lim_{x\to2}\frac{\sqrt[3]{x+6}-2}{x-2} = \lim_{a\to2}\frac{1}{a^2 +2a+4} = \frac{1}{2^2 +2\cdot2 +4} = \frac{1}{4 +4 +4} = \frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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