Utilizando limites laterais, verifique se existem os limites a seguir. Caso o limite não exista, justifique.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{|2 x-2|}{|x-1|}

Passo 1

O enunciado pede para investigar o limite
\lim_{x\to1}\frac{|2x-2|}{|x-1|}
usando limites laterais. O conteúdo aqui é manipular valor absoluto e verificar se as aproximações pela esquerda e pela direita coincidem.

Passo 2

Para x\neq1 podemos fatorar no numerador:
|2x-2| = |2(x-1)| = 2\,|x-1|.
Assim a expressão torna-se
\frac{|2x-2|}{|x-1|} = \frac{2\,|x-1|}{|x-1|} = 2.

Passo 3

Como para todo x\neq1 o quociente vale exatamente 2, as aproximações pela esquerda e pela direita dão o mesmo valor:
\lim_{x\to1^-}\frac{|2x-2|}{|x-1|}=2, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac{|2x-2|}{|x-1|}=2.

Resposta

O limite existe e vale 2.

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