Calcule, caso existam, os seguintes limites.
(b) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}

Passo 1

Estamos calculando o limite de
\frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}
quando (x,y)\to(0,0), lembrando que a expressão faz sentido apenas para x\ge0 e y\ge0. Vamos usar técnica de fatoração e racionalização para simplificar essa fração.

Passo 2

Fatora­mos o numerador como diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).

Passo 3

Observamos que o denominador pode ser relacionado a x-y usando a conjugada de \sqrt{x}-\sqrt{y}:
\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} =\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.

Passo 4

Substituindo essas expressões na fração original, temos
\frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\frac{(x-y)(x+y)}{\displaystyle\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}} =(x+y)\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{y}\bigr).
Esse novo “ f(x,y)” é contínuo em (0,0).

Passo 5

Basta agora avaliar o limite da forma simplificada:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+y)\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{y}\bigr)=0\cdot0=0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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