Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender sobre caminhos de aproximação e possivelmente usar coordenadas polares para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender se o limite existe. Em funções de duas variáveis, o limite existe se for o mesmo quando nos aproximamos do ponto (0,0) por qualquer caminho.
Vamos tentar dois caminhos diferentes para ver se obtemos o mesmo resultado.

Passo 3

Caminho 1: Vamos aproximar pelo eixo x, ou seja, definir y = 0.
Substituindo y por 0 na função:
3 x^2 cdot 0x^2+0^2 = 0x^2 = 0
Então, pelo eixo x, o limite é 0.

Passo 4

Caminho 2: Agora, vamos aproximar pelo eixo y, ou seja, definir x = 0.
Substituindo x por 0 na função:
3 cdot 0^2 cdot y0^2+y^2 = 0y^2 = 0
Pelo eixo y, o limite também é 0.

Passo 5

Até aqui, ambos os caminhos deram o limite igual a 0. Mas para ter certeza de que o limite realmente é 0, vamos verificar usando coordenadas polares. Isso ajuda a ver o comportamento da função quando nos aproximamos do ponto (0,0) de qualquer direção.
Em coordenadas polares, temos:
  • $ x = r \cos \theta $
  • $ y = r \sin \theta $
  • Onde $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo.

Passo 6

Substituindo essas expressões na função:
3 (r cos theta)^2 (r sin theta)(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = 3 r^2 cos^2 theta cdot r sin thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Simplificando:
3 r^3 cos^2 theta sin thetar^2 cdot 1 = 3 r cos^2 theta sin theta
Aqui, usamos que $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $.

Passo 7

Agora, observamos que à medida que $ r \to 0 $, o termo $ 3 r \cos^{2} \theta \sin \theta $ também tende a 0, porque $ r $ está multiplicando os outros fatores que são limitados (já que $ \cos \theta $ e $ \sin \theta $ são sempre entre -1 e 1).

Passo 8

Portanto, independente do ângulo $ \theta $ pelo qual nos aproximamos do ponto (0,0), a expressão tende a 0.

Resposta

O limite é 0.

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