Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender sobre caminhos de aproximação e possivelmente usar coordenadas polares para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender se o limite existe. Em funções de duas variáveis, o limite existe se for o mesmo quando nos aproximamos do ponto (0,0) por qualquer caminho.
Vamos tentar dois caminhos diferentes para ver se obtemos o mesmo resultado.
Passo 3
Caminho 1: Vamos aproximar pelo eixo x, ou seja, definir y = 0.
Substituindo y por 0 na função:
Então, pelo eixo x, o limite é 0.
Passo 4
Caminho 2: Agora, vamos aproximar pelo eixo y, ou seja, definir x = 0.
Substituindo x por 0 na função:
Pelo eixo y, o limite também é 0.
Passo 5
Até aqui, ambos os caminhos deram o limite igual a 0. Mas para ter certeza de que o limite realmente é 0, vamos verificar usando coordenadas polares. Isso ajuda a ver o comportamento da função quando nos aproximamos do ponto (0,0) de qualquer direção.
Em coordenadas polares, temos:
- $ x = r \cos \theta $
- $ y = r \sin \theta $
- Onde $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo.
Passo 6
Substituindo essas expressões na função:
Simplificando:
Aqui, usamos que $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $.
Passo 7
Agora, observamos que à medida que $ r \to 0 $, o termo $ 3 r \cos^{2} \theta \sin \theta $ também tende a 0, porque $ r $ está multiplicando os outros fatores que são limitados (já que $ \cos \theta $ e $ \sin \theta $ são sempre entre -1 e 1).
Passo 8
Portanto, independente do ângulo $ \theta $ pelo qual nos aproximamos do ponto (0,0), a expressão tende a 0.
Resposta
O limite é 0.