Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para estudar o limite de
quando , usando o teste de caminhos para tentar mostrar que não existe. Na matéria, o teste de caminhos diz que se eu achar duas curvas de aproximação cujo limite seja diferente, então o limite na multivariável não existe. Aqui vamos ver que todos os caminhos dão zero e concluir que, na verdade, o limite existe.
Passo 2
Para aplicar de fato, defino . Assim o ponto vira e a função fica
Primeiro caminho: tomo uma reta do tipo . Substituindo,
Como , concluímos que
Passo 3
Segundo caminho: testo uma curva não linear, por exemplo . Substituindo,
Também dá quando . Assim, mesmo em curvas diferentes, o limite é sempre zero.
Passo 4
Para rigorizar a existência do limite, uso uma desigualdade direta. Note que
Como yto0 quando (u,y)to(0,0), segue por squeeze que f(u,y)to0. Portanto o limite existe e vale 0.