Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
lim (x, y) (-1,0) (x+1)^2 y(x+1)^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite de
(x+1)^2,y(x+1)^2 + y^2
quando (x,y)to(-1,0), usando o teste de caminhos para tentar mostrar que não existe. Na matéria, o teste de caminhos diz que se eu achar duas curvas de aproximação cujo limite seja diferente, então o limite na multivariável não existe. Aqui vamos ver que todos os caminhos dão zero e concluir que, na verdade, o limite existe.

Passo 2

Para aplicar de fato, defino u = x+1. Assim o ponto (x,y)to(-1,0) vira (u,y)to(0,0) e a função fica
f(u,y) = u^2,yu^2 + y^2
Primeiro caminho: tomo uma reta do tipo y = m,u. Substituindo,
f(u,m u) = u^2,(m u)u^2 + m^2u^2 = m,u^3u^2(1+m^2) = m1+m^2,u
Como uto0, concluímos que
f(u,m u) to 0

Passo 3

Segundo caminho: testo uma curva não linear, por exemplo y = k,u^2. Substituindo,
f(u,k u^2) = u^2,(k u^2)u^2 + k^2u^4 = k,u^4u^2(1 + k^2u^2) = k,u^21 + k^2u^2
Também dá to0 quando uto0. Assim, mesmo em curvas diferentes, o limite é sempre zero.

Passo 4

Para rigorizar a existência do limite, uso uma desigualdade direta. Note que
l|f(u,y)r| = |u^2,yu^2 + y^2| = u^2u^2+y^2,|y| <= 1cdot|y| = |y|
Como yto0 quando (u,y)to(0,0), segue por squeeze que f(u,y)to0. Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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