Verifique se a função dada por f(x, y)=cos (x^2+y^2) é diferenciável no ponto (0,0). Justifique a sua resposta. Determine, caso exista, o plano tangeute à f no ponto (0,0, f(0,0)).

Passo 1

Vamos descrever o que a questão pede e quais ferramentas vamos usar: precisamos verificar se a função f(x,y)=cos(x^2+y^2) é diferenciável em (0,0). Para isso vamos calcular o valor de f(0,0), as derivadas parciais em (0,0) e checar a condição de diferenciabilidade via limite do resto da aproximação linear.

Passo 2

Calcular f(0,0) e as derivadas parciais em (0,0). Temos
f(0,0)=cos(0^2+0^2)=cos0=1
Para as derivadas parciais usamos a regra da cadeia:
partial fpartial x(x,y)=-2x,sin(x^2+y^2),
partial fpartial y(x,y)=-2y,sin(x^2+y^2)
Logo em (0,0):
partial fpartial x(0,0)=0,
partial fpartial y(0,0)=0

Passo 3

Escrever a aproximação linear candidata. O plano linear em torno de (0,0) é
L(h,k)=f(0,0)+fx(0,0),h+fy(0,0),k=1+0cdot h+0cdot k=1

Passo 4

Verificar a condição de diferenciabilidade: o resto é
R(h,k)=f(h,k)-L(h,k)=cos(h^2+k^2)-1
Precisamos mostrar
lim(h,k)to(0,0)|R(h,k)|raizh^2+k^2=0
Como para t pequeno vale |cos t-1|<= t^2/2, com t=h^2+k^2 obtemos
|R(h,k)|=|cos(h^2+k^2)-1|<=(h^2+k^2)^22
Então
0<=|R(h,k)|raizh^2+k^2<=(h^2+k^2)^22raizh^2+k^2=(h^2+k^2)^3/22xrightarrow[(h,k)to(0,0)]0
Isso garante que R(h,k) é de ordem menor que raizh^2+k^2, logo f é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Como a função é diferenciável em (0,0), o plano tangente existe e coincide com a linearização.

Resposta

A função é diferenciável em (0,0) e o plano tangente em (0,0,1) é z = 1.

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