Verifique se a função dada por é diferenciável no ponto . Justifique a sua resposta. Determine, caso exista, o plano tangeute à no ponto .
Passo 1
Vamos descrever o que a questão pede e quais ferramentas vamos usar: precisamos verificar se a função é diferenciável em . Para isso vamos calcular o valor de , as derivadas parciais em e checar a condição de diferenciabilidade via limite do resto da aproximação linear.
Passo 2
Calcular e as derivadas parciais em . Temos
Para as derivadas parciais usamos a regra da cadeia:
Logo em :
Passo 3
Escrever a aproximação linear candidata. O plano linear em torno de é
Passo 4
Verificar a condição de diferenciabilidade: o resto é
Precisamos mostrar
Como para pequeno vale , com obtemos
Então
Isso garante que R(h,k) é de ordem menor que raizh^2+k^2, logo f é diferenciável em (0,0).
Passo 5
Como a função é diferenciável em (0,0), o plano tangente existe e coincide com a linearização.
Resposta
A função é diferenciável em (0,0) e o plano tangente em (0,0,1) é z = 1.