Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) x^3-y^2x^3+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x^3-y^2x^3+2y^2
quando (x,y)to(0,0) não existe, usando o teste dos caminhos. Vamos usar teoria de limites em várias variáveis e o teste de caminhos.

Passo 2

Em várias variáveis, para existir
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
é preciso que ao longo de qualquer trajetória que leve a (0,0) o valor da função tenda ao mesmo número. Se encontrarmos duas trajetórias com limites diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Passo 3

Considere a trajetória sobre o eixo y=0. Substituindo na função, para xneq0:
f(x,0)=x^3-0^2x^3+2cdot0^2=x^3x^3=1
Logo,
limxto0f(x,0)=1

Passo 4

Agora considere a trajetória sobre o eixo x=0. Substituindo na função, para yneq0:
f(0,y)=0^3-y^20^3+2y^2=-y^22y^2=-tfrac12
Logo,
limyto0f(0,y)=-tfrac12

Passo 5

Como ao longo de y=0 o limite é 1 e ao longo de x=0 é -tfrac12, os dois resultados diferem. Pelo teste dos caminhos, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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