Calcule, caso existam, os seguintes limites.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+x^{2} y+2 x^{2}+x y^{2}+y^{3}+2 y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{3}+x^{2}y+2x^{2}+xy^{2}+y^{3}+2y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). Este é um problema de limite em duas variáveis, onde vamos usar a ideia de separar termos de diferentes ordens e verificar o comportamento dominante.

Passo 2

Observe o numerador e agrupe os termos quadráticos e os termos de ordem superior (cúbicos):
x^{3}+x^{2}y+2x^{2}+xy^{2}+y^{3}+2y^{2} = \underbrace{2x^{2}+2y^{2}}_{\text{termos de ordem }2} \;+\;\underbrace{\bigl(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\bigr)}_{\text{termos de ordem }3}.

Passo 3

Escreva f(x,y) destacando a parte quadrática em relação a x^{2}+y^{2}:
f(x,y) = \frac{2x^{2}+2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \;+\;\frac{x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Analise cada fração separadamente:
  1. \displaystyle \frac{2x^{2}+2y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=2.
  2. Nos termos cúbicos, como x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=O\bigl(r^{3}\bigr) e x^{2}+y^{2}=O\bigl(r^{2}\bigr) onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, temos
\frac{x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} =O(r)\;\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}0.
Somando as duas partes, obtemos
f(x,y)=2+O(r)\quad\longrightarrow\quad 2.

Resposta

O limite existe e vale 2.

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