Resolva os itens a seguir.
(a) Encontre o conjunto dos pontos de acumulação X^{\prime}, onde X=(0,2) \cup\{3\},
(b) Justificando sua resposta, decida qual dos conjuntos a seguir é aberto:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2}<1\right\} ou B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2}=1\right\},

Passo 1

O enunciado trata de dois tópicos de topologia: (i) pontos de acumulação em \mathbb{R} e (ii) abertura de subconjuntos de \mathbb{R}^2. No item (a) vamos usar a definição de ponto de acumulação para X=(0,2)\cup\{3\}. No item (b) vamos usar a definição de conjunto aberto em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Um ponto x\in\mathbb{R} é ponto de acumulação de X se, para todo raio r>0, a vizinhança aberta (x-r,x+r) contém algum ponto de X diferente de x. Em símbolos:
x\in X' \quad\Longleftrightarrow\quad \forall r>0,\;( (x-r,x+r)\setminus\{x\} )\cap X \neq\varnothing.

Passo 3

Para X=(0,2)\cup\{3\}:
  • Se x\in(0,2), qualquer vizinhança de x intersecta (0,2) em pontos distintos de x, logo x é de acumulação.
  • Para x=0 ou x=2, toda vizinhança (x-r,x+r) intercepta (0,2), pois 0 e 2 são limites de (0,2). Portanto 0,2\in X'.
  • Para x=3, basta escolher r<|3-2| para que (3-r,3+r) não toque (0,2) e o único ponto de X em (3-r,3+r) seria 3 isolado. Logo 3\notin X'.
    Assim
X'=[0,2].

Passo 4

Um conjunto U\subset\mathbb{R}^2 é aberto se, para todo ponto (x,y)\in U, existe \epsilon>0 tal que a bola aberta
B_\epsilon(x,y)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 : (u-x)^2+(v-y)^2<\epsilon^2\}
está inteiramente contida em U.

Passo 5

Para \;A=\{(x,y):x^2+y^2<1\}:
dado (x,y)\in A temos r=\sqrt{x^2+y^2}<1. Tome \epsilon=1-r>0. Se (u,v)\in B_\epsilon(x,y) então
\sqrt{u^2+v^2}\le \sqrt{(u-x)^2+(v-y)^2} + \sqrt{x^2+y^2} < \epsilon + r =1,
logo (u,v)\in A. Assim A é aberto.
Para \;B=\{(x,y):x^2+y^2=1\}:
seja qualquer (x_0,y_0)\in B. Qualquer bola centrada em (x_0,y_0) contém pontos com raio maior e menor que 1, que não satisfazem x^2+y^2=1. Logo não existe \epsilon>0 com B_\epsilon(x_0,y_0)\subset B. Assim B não é aberto.

Resposta

(a) X'=[0,2].
(b) O conjunto A é aberto e o conjunto B não é aberto.

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