Resolva os itens a seguir.
(a) Encontre o conjunto dos pontos de acumulação
, onde
,
(b) Justificando sua resposta, decida qual dos conjuntos a seguir é aberto:
ou
,
(a) Encontre o conjunto dos pontos de acumulação
(b) Justificando sua resposta, decida qual dos conjuntos a seguir é aberto:
Passo 1
O enunciado trata de dois tópicos de topologia: (i) pontos de acumulação em
e (ii) abertura de subconjuntos de
. No item (a) vamos usar a definição de ponto de acumulação para
. No item (b) vamos usar a definição de conjunto aberto em
.
Passo 2
Um ponto
é ponto de acumulação de
se, para todo raio
, a vizinhança aberta
contém algum ponto de
diferente de
. Em símbolos:
Passo 3
Para
:
- Se
, qualquer vizinhança de intersecta em pontos distintos de , logo é de acumulação. - Para
ou , toda vizinhança intercepta , pois e são limites de . Portanto . - Para
, basta escolher para que não toque e o único ponto de em seria isolado. Logo .
Assim
Passo 4
Um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe
tal que a bola aberta
está inteiramente contida em
.
Passo 5
Para
:
dado temos
. Tome
. Se
então
dado
logo
. Assim
é aberto.
Para
:
seja qualquer . Qualquer bola centrada em
contém pontos com raio maior e menor que 1, que não satisfazem
. Logo não existe
com
. Assim
não é aberto.
seja qualquer
Resposta
(a)
.
(b) O conjunto é aberto e o conjunto
não é aberto.
(b) O conjunto