Calcule, caso existam, os seguintes limites.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y \operatorname{sen}(x+y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y\operatorname{sen}(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}.
O conteúdo é cálculo de limite em \mathbb{R}^2. Para mostrar que ele existe e encontrar seu valor, vamos usar a desigualdade \lvert\operatorname{sen} t\rvert\le\lvert t\rvert e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Começamos aplicando a desigualdade do seno:
\left|\frac{y\operatorname{sen}(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{|y|\;\bigl|\,x+y\,\bigr|}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Usamos a desigualdade triangular em \mathbb{R}:
|x+y|\le |x|+|y| \le \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2} =2\sqrt{x^2+y^2}.
Logo,
\left|\frac{y\operatorname{sen}(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{|y|\;2\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}} =2\,|y|.

Passo 4

Quando (x,y)\to(0,0), temos 2|y|\to0. Pelo Teorema do Confronto, também
\frac{y\operatorname{sen}(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

Exercícios relacionados