Calcule, caso existam, os seguintes limites. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y \operatorname{sen}(x+y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} Passo 1O enunciado pede o limite em duas variáveis \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y\operatorname{sen}(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}. O conteúdo é cálculo de limite em \mathbb{R}^2. Para mostrar que ele existe e encontrar seu valor, vamos usar a desigualdade \lvert\operatorname{sen} t\rvert\le\lvert t\rvert e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Passo 2Começamos aplicando a desigualdade do seno: \left|\frac{y\operatorname{sen}(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{|y|\;\bigl|\,x+y\,\bigr|}{\sqrt{x^2+y^2}}. Passo 3Usamos a desigualdade triangular em \mathbb{R}: |x+y|\le |x|+|y| \le \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2} =2\sqrt{x^2+y^2}. Logo, \left|\frac{y\operatorname{sen}(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{|y|\;2\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}} =2\,|y|. Passo 4Quando (x,y)\to(0,0), temos 2|y|\to0. Pelo Teorema do Confronto, também \frac{y\operatorname{sen}(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\;\longrightarrow\;0. RespostaO limite existe e vale 0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva os itens a seguir. (a) Encontre o conjunto dos pontos de acumulação X^{\prime}, onde X=(0,2) \cup\{3\}, (b) Justificando sua resposta, decida qual dos conjuntos a seguir é aberto: A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2}<1\right\} ou B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2}=1\right\}, Calcule \iint_{R} \operatorname{arctang}\left(\frac{y}{x}\right) d A. ond R=\left\{(x, y) / 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4, \quad 0 \leqslant y \leqslant x\right\} Calcule, caso existam, os seguintes limites. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+x^{2} y+2 x^{2}+x y^{2}+y^{3}+2 y^{2}}{x^{2}+y^{2}} Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right. A função f é contínua em \mathbb{R}^{2} ? Justifique sua responta.