Seja
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
A função f é contínua em \mathbb{R}^{2} ? Justifique sua responta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[1em] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta se f é contínua em \mathbb{R}^2. Vamos usar a definição de continuidade: para cada ponto (x_0,y_0), precisamos mostrar que \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0).]

Passo 2

Se (x_0,y_0)\neq(0,0), então no entorno de (x_0,y_0) temos x^2+y^2\neq0 e
f(x,y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}
é quociente de polinômios com denominador não nulo. Logo f é contínua em todo ponto (x_0,y_0)\neq(0,0).

Passo 3

Falta verificar a continuidade em (0,0). Queremos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\overset{?}{=}0.
Use coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y) =\frac{r^3(\cos^3\theta-\sin^3\theta)}{r^2} =r\bigl(\cos^3\theta-\sin^3\theta\bigr).
Isso implica a desigualdade
\bigl|f(x,y)\bigr| = r\,\bigl|\cos^3\theta-\sin^3\theta\bigr| \le r\bigl(|\cos^3\theta|+|\sin^3\theta|\bigr) \le 2r.
Como r=\sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \bigl|f(x,y)\bigr|\to0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0),
o que prova a continuidade em (0,0).

Passo 4

Concluímos que f é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^2: nos pontos onde (x,y)\neq(0,0) por ser quociente de polinômios, e em (0,0) pelo cálculo do limite acima.

Resposta

Sim. A função f é contínua em \mathbb{R}^2.

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