e pergunta se f é contínua em \mathbb{R}^2. Vamos usar a definição de continuidade: para cada ponto (x_0,y_0), precisamos mostrar que \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0).]
Passo 2
Se (x_0,y_0)\neq(0,0), então no entorno de (x_0,y_0) temos x^2+y^2\neq0 e
f(x,y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}
é quociente de polinômios com denominador não nulo. Logo f é contínua em todo ponto (x_0,y_0)\neq(0,0).
Passo 3
Falta verificar a continuidade em (0,0). Queremos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\overset{?}{=}0.
Use coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então, para (x,y)\neq(0,0),
Como r=\sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \bigl|f(x,y)\bigr|\to0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0),
o que prova a continuidade em (0,0).
Passo 4
Concluímos que f é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^2: nos pontos onde (x,y)\neq(0,0) por ser quociente de polinômios, e em (0,0) pelo cálculo do limite acima.