Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim t +infty raizt+raiz9+raiztraizt+9

Passo 1

A questão pede o limite limtto+inftyraizt+raiz9+raiz traizt+9. É um caso infty/infty envolvendo raízes, então vamos usar fatoração algébrica de t dentro das raízes e propriedades de limites para comparar os termos dominantes.

Passo 2

Observando que, conforme ttoinfty, tanto o numerador quanto o denominador são dominados por t, podemos escrever:
raizt+raiz9+raiz t=raizt,raiz1+raiz9+raiz tt
e
raizt+9=raizt,raiz1+9t
Isso usa a propriedade raizab=raiz a,raiz b.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por raiz t, o quociente fica
raizt+raiz9+raiz traizt+9 =raiz1+tfracraiz9+raiz ttraiz1+tfrac9t
Agora estamos num formato tfracraiz1+(pequeno)raiz1+(pequeno).

Passo 4

Falta ver como tfracraiz9+raiz tt se comporta. Note que
raiz9+raiz t=raiz t,raiz1+9raiz t
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raiz9+raiz tt=t^-tfrac12,raiz1+9,t^-tfrac12to0
quando ttoinfty.

Passo 5

Portanto dentro das duas raízes temos termos que tendem a 1, e
limttoinftyraiz1+o(1)raiz1+o(1)=1
Assim, o limite original também é 1.

Resposta

1

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