Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim x 0 raiz[3]1+x^2-1x^2

Passo 1

O enunciado pede calcular limx to 0 raiz[3]1+x^2-1x^2. Quando xto0, o numerador e o denominador vão a zero, caracterizando a forma indeterminada tfrac00. Para resolver, vamos usar a expansão de Taylor (ou binômio de Newton) em torno de x=0.

Passo 2

A expansão do binômio de Newton para expoente alpha diz que, para |t|<1:
(1+t)^alpha = 1 + alpha t + O(t^2)
Aqui tomamos t = x^2 e alpha = tfrac13. Logo:
(1+x^2)^1/3 = 1 + tfrac13x^2 + O(x^4)

Passo 3

Substituindo no quociente temos:
raiz[3]1+x^2 - 1x^2 = 1 + tfrac13x^2 + O(x^4) - 1x^2 = tfrac13x^2 + O(x^4)x^2 = tfrac13 + O(x^2)
À medida que xto0, o termo O(x^2) tende a zero, então o limite é tfrac13.

Resposta

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