Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim x 0 raiz[3]1+x-raiz[3]1-xx

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite
limxto 0 raiz[3]1+x-raiz[3]1-xx
Esse é um caso de indeterminação 0/0, e vamos usar a expansão em série de Taylor (ou binomial) para funções do tipo (1pm x)^1/3.

Passo 2

Para pequenas variações x, a expansão em série de (1+x)^1/3 até termos de ordem x^2 é:
(1+x)^1/3=1+13x-19x^2+O(x^3),
e de forma análoga para (1-x)^1/3:
(1-x)^1/3=1-13x-19x^2+O(x^3)

Passo 3

Substituindo essas expansões no numerador da fração temos:
raiz[3]1+x-raiz[3]1-x=igl(1+tfrac13x-tfrac19x^2+O(x^3)r)- l(1-tfrac13x-tfrac19x^2+O(x^3)r) =23x+O(x^3) 

Passo 4

Agora o quociente fica
raiz[3]1+x-raiz[3]1-xx=tfrac23x+O(x^3)x=23+O(x^2)
Tomando o limite xto0, o termo O(x^2) some, sobrando 2/3.

Resposta

2/3

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