Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=raiz6 x-2 no ponto x=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \sqrt{6x - 2} $ no ponto onde $ x = 3 $. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função quando $ x = 3 $. Isso nos dá o ponto no gráfico onde a reta tangente vai tocar.
x = 3
Então, o ponto de tangência é $ (3, 4) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $ para saber a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto.
A função é $ f(x) = \sqrt{6x - 2} $. Podemos reescrever isso como $ f(x) = (6x - 2)^{1/2} $.
Usando a regra da potência e a regra da cadeia para derivar:
f(x)

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada em $ x = 3 $ para encontrar a inclinação da tangente nesse ponto.
x = 3
Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{3}{4} $.

Passo 5

Com a inclinação $ m = \frac{3}{4} $ e o ponto de tangência $ (3, 4) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
m = 34
Substituindo os valores:
(3, 4)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma mais comum, $ y = mx + b $.
Multiplicando a fração:
y = mx + b
Adicionando 4 (ou $ \frac{16}{4} $) aos dois lados:
y - 4 = 34x - 94
164

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de $ f(x) = \sqrt{6x - 2} $ no ponto $ x = 3 $ é:
f(x) = raiz6x - 2

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