Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \sqrt{6x - 2} $ no ponto onde $ x = 3 $. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função quando $ x = 3 $. Isso nos dá o ponto no gráfico onde a reta tangente vai tocar.
Então, o ponto de tangência é $ (3, 4) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $ para saber a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto.
A função é $ f(x) = \sqrt{6x - 2} $. Podemos reescrever isso como $ f(x) = (6x - 2)^{1/2} $.
Usando a regra da potência e a regra da cadeia para derivar:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada em $ x = 3 $ para encontrar a inclinação da tangente nesse ponto.
Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{3}{4} $.
Passo 5
Com a inclinação $ m = \frac{3}{4} $ e o ponto de tangência $ (3, 4) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma mais comum, $ y = mx + b $.
Multiplicando a fração:
Adicionando 4 (ou $ \frac{16}{4} $) aos dois lados:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ f(x) = \sqrt{6x - 2} $ no ponto $ x = 3 $ é: