Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de separação de variáveis:
lx^3 sen y y^prime=2 lim x infty y(x)=pi2
R. y=arccos (1x^2)
Em algumas soluções, temos valores restritos para a constante C.

Passo 1

Aqui a gente tem uma equação diferencial separável:
– Equação: x^3,sin y,y'=2.
– Matéria: ODEs de variáveis separáveis.
– Vamos precisar isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro.

Passo 2

Primeiro escrevemos y' = dfracdydx. Então:
x^3,sin y,dydx=2
é equivalente a
sin y,dy = 2,x^-3,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral sin y,dy = integral 2,x^-3,dx
Do lado esquerdo temos integral sin y,dy = -cos y e do direito:
integral 2,x^-3,dx = 2cdotx^-2-2 = -x^-2
Logo aparece a constante de integração C:
-cos y = -x^-2 + C

Passo 4

Reescrevendo em termos de cos y:
cos y = x^-2 - C
Para achar C, usamos a condição de contorno:
cos yto0
Implica x^-2to0 e 0 = 0 - C. Logo na expressão C=0, vem .

Passo 5

Com C=0 obtemos:
cos y = x^-2
Logo
y = arccosl(x^-2r)
Observação de domínio: como x^-2in(0,1], faz sentido usar arccos e a condição limite é satisfeita.

Resposta

y=\arccos\left(\frac{1}{x^{2}}\right)

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