Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função $ y = \tan^{2}(\pi x - 2) $. Esse exercício está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente utilizando a regra da cadeia e derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar a função tangente e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ y $ de uma forma que facilite a derivação:
Aqui, vemos que temos uma função composta: a tangente de $ \pi x - 2 $ elevada ao quadrado. Isso significa que vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia. Se temos uma função $ y = [u(x)]^n $, a derivada é:
No nosso caso, $ u(x) = \tan(\pi x - 2) $ e $ n = 2 $. Então, aplicando a regra:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos calcular $ \frac{d}{dx}[\tan(\pi x - 2)] $. Sabemos que a derivada de $ \tan(u) $ em relação a $ u $ é $ \sec^{2}(u) $. Usando a regra da cadeia novamente:
Derivando $ \pi x - 2 $ em relação a $ x $:
Então:
Passo 5
Substituindo essa derivada de volta na expressão que tínhamos:
Podemos reorganizar os termos para ficar mais claro:
Resposta
A derivada da função $ y = \tan^{2}(\pi x - 2) $ é: