Calcule as derivadas das funções:
y=tg^2(pi x-2)

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função $ y = \tan^{2}(\pi x - 2) $. Esse exercício está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente utilizando a regra da cadeia e derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar a função tangente e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ y $ de uma forma que facilite a derivação:
y
Aqui, vemos que temos uma função composta: a tangente de $ \pi x - 2 $ elevada ao quadrado. Isso significa que vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia. Se temos uma função $ y = [u(x)]^n $, a derivada é:
y = [u(x)]^n
No nosso caso, $ u(x) = \tan(\pi x - 2) $ e $ n = 2 $. Então, aplicando a regra:
dydx = n cdot [u(x)]^n-1 cdot dudx
Simplificando:
u(x) = tan(pi x - 2)

Passo 4

Agora, precisamos calcular $ \frac{d}{dx}[\tan(\pi x - 2)] $. Sabemos que a derivada de $ \tan(u) $ em relação a $ u $ é $ \sec^{2}(u) $. Usando a regra da cadeia novamente:
ddx[tan(pi x - 2)]
Derivando $ \pi x - 2 $ em relação a $ x $:
tan(u)
Então:
u

Passo 5

Substituindo essa derivada de volta na expressão que tínhamos:
dydx = 2 cdot tan(pi x - 2) cdot pi cdot sec^2(pi x - 2)
Podemos reorganizar os termos para ficar mais claro:
dydx = 2pi cdot tan(pi x - 2) cdot sec^2(pi x - 2)

Resposta

A derivada da função $ y = \tan^{2}(\pi x - 2) $ é:
y = tan^2(pi x - 2)

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