Calcule
\iint_{R} \operatorname{arctang}\left(\frac{y}{x}\right) d A. ond
R=\left\{(x, y) / 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4, \quad 0 \leqslant y \leqslant x\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R}\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)\,dA
no domínio
R=\{(x,y)\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le 4,\;0\le y\le x\}.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares, em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta e \arctan(y/x)=\theta quando (x,y) está no primeiro quadrante.

Passo 2

Em coordenadas polares temos r variando de 1 a 2 (pelas circunferências r=1 e r=2) e o ângulo \theta satisfaz 0\le y\le x, ou seja,
0\le \theta\le \frac{\pi}{4}.
Logo a integral se transforma em
\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=1}^{2}\theta\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calcular primeiro a integral em r:
\int_{r=1}^{2}r\,dr =\frac{r^{2}}{2}\Biggr|_{1}^{2} =\frac{4-1}{2} =\frac{3}{2}.
Assim a integral total fica
\frac{3}{2}\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta =\frac{\theta^{2}}{2}\Biggr|_{0}^{\pi/4} =\frac{(\pi/4)^{2}}{2} =\frac{\pi^{2}}{32}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2} obtemos
\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{32} =\frac{3\pi^{2}}{64}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi^{2}}{64}

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