Calcule, caso existam, o valor dos limites abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede calcular o limite
. - A função envolvida é
. - Informação útil sobre
que vem da definição da função: para todo vale .
Passo 2
Explorar a desigualdade para
e transformar no numerador:
- De
segue que .
Explicação: somandoem todas as partes da desigualdade dá . Isso mostra que o numerador é sempre não negativo e está limitado superiormente por .
Passo 3
Dividir a desigualdade por
(positivo para todo
) para relacionar com a expressão do limite:
- Como
para , dividindo a desigualdade do passo anterior obtemos
Comentário didático: dividir por um número positivo preserva a ordem das desigualdades; por isso a desigualdade acima é válida para todo
. Para o limite em
interessam valores grandes de
, onde
com certeza.
Passo 4
Calcular o limite da função dominadora à direita:
- Calcular
. - Raciocínio: o denominador
cresce sem limite quando , logo uma constante dividida por tende a zero. Formalmente, dado , basta escolher ; para todo tem . Portanto
Passo 5
Aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) e concluir:
- Enunciado do teorema (em palavras simples): se
para em algum intervalo e , então . - No nosso caso temos, para
grandes,
e dos passos anteriores
e
. Pelo Teorema do Confronto segue que
Passo 6
Observação alternativa e dica para a prova (mesma conclusão, outra via):
- Usando a identidade trigonométrica
também se obtém
porque
está sempre entre
e
. Assim chega-se ao mesmo confronto e ao mesmo limite.
- Regra prática para provas: se o numerador é limitado (é uma função limitada, como
, , constantes) e o denominador cresce para infinito (polinômio em , por exemplo ), a razão tende a . Exemplo semelhante: .
Resposta
0