Calcule, caso existam, o valor dos limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}}=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede calcular o limite \lim_{x\to\infty}\dfrac{1-\cos(x)}{x^{2}}.
  • A função envolvida é \dfrac{1-\cos(x)}{x^{2}}.
  • Informação útil sobre \cos(x) que vem da definição da função: para todo x vale -1\le \cos(x)\le 1.

Passo 2

Explorar a desigualdade para \cos(x) e transformar no numerador:
  • De -1\le \cos(x)\le 1 segue que 0\le 1-\cos(x)\le 2.
    Explicação: somando 1 em todas as partes da desigualdade -1\le \cos(x)\le 1 0\le 1-\cos(x)\le 2. Isso mostra que o numerador é sempre não negativo e está limitado superiormente por 2.

Passo 3

Dividir a desigualdade por x^{2} (positivo para todo x\neq 0) para relacionar com a expressão do limite:
  • Como x^{2}>0 para x\ne 0, dividindo a desigualdade do passo anterior obtemos
0 \le \frac{1-\cos(x)}{x^{2}} \le \frac{2}{x^{2}}.
Comentário didático: dividir por um número positivo preserva a ordem das desigualdades; por isso a desigualdade acima é válida para todo x\neq 0. Para o limite em x\to\infty interessam valores grandes de x, onde x^{2}>0 com certeza.

Passo 4

Calcular o limite da função dominadora à direita:
  • Calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^{2}}.
  • Raciocínio: o denominador x^{2} cresce sem limite quando x\to\infty, logo uma constante dividida por x^{2} tende a zero. Formalmente, dado \varepsilon>0, basta escolher X=\sqrt{\tfrac{2}{\varepsilon}}; para todo x>X tem \dfrac{2}{x^{2}}<\varepsilon. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^{2}}=0.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) e concluir:
  • Enunciado do teorema (em palavras simples): se g(x)\le f(x)\le h(x) para x em algum intervalo e \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L, então \lim_{x\to a}f(x)=L.
  • No nosso caso temos, para x grandes,
0 \le \frac{1-\cos(x)}{x^{2}} \le \frac{2}{x^{2}},
e dos passos anteriores \lim_{x\to\infty}0=0 e \lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x^{2}}=0. Pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}=0.

Passo 6

Observação alternativa e dica para a prova (mesma conclusão, outra via):
  • Usando a identidade trigonométrica 1-\cos(x)=2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) também se obtém
0\le \frac{1-\cos(x)}{x^{2}} = \frac{2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x^{2}}\le \frac{2}{x^{2}},
porque \sin^{2} está sempre entre 0 e 1. Assim chega-se ao mesmo confronto e ao mesmo limite.
  • Regra prática para provas: se o numerador é limitado (é uma função limitada, como \cos, \sin, constantes) e o denominador cresce para infinito (polinômio em x, por exemplo x^{2}), a razão tende a 0. Exemplo semelhante: \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0.

Resposta

0

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