Questão 3.

(1.5 pontos) Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico da função
f(x)=\frac{|x|^{3}+1}{x^{3}-1} . \quad A V=1
A H=1,-1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{|x|^{3}+1}{x^{3}-1}
e pede para determinar, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função usa o valor absoluto em |x|^{3}, então o comportamento para x>0 e x<0 pode ser diferente.
  • Precisamos investigar:
    • assíntotas verticais: pontos a onde o denominador se anula (possível x=a) e a função tende a \pm\infty;
    • assíntotas horizontais: limites \lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to-\infty}f(x) iguais a constantes L, o que dá y=L como assíntota horizontal.

Passo 2

Definição prática de assíntota vertical (explicando a ideia): se em x=a o denominador vira zero mas o numerador não zera de forma que a função cresce sem limite em módulo ao nos aproximarmos de a, então existe assíntota vertical x=a. Procedo encontrando onde o denominador é zero:
x^{3}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{3}=1 \quad\Rightarrow\quad x=1
(As outras raízes de x^{3}=1 são complexas e não interessam para assíntotas reais.)
Agora verifico o numerador em x=1:
|1|^{3}+1=1+1=2\neq0.
Como o numerador é diferente de zero e o denominador se anula em x=1, isso indica uma assíntota vertical em x=1. Vou confirmar calculando os limites laterais para ver o comportamento.

Passo 3

Cálculo dos limites laterais em x=1 (detalhando sinais e raciocínio):
Perto de x=1 temos x>0, logo |x|=x e |x|^{3}=x^{3}. Assim, para x próximo de 1,
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{3}-1}.
  • Para x\to1^{-} (pela esquerda) o denominador x^{3}-1 é negativo e tende a 0^{-}, enquanto o numerador x^{3}+1 tende a 2>0. Então
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=-\infty.
  • Para x\to1^{+} (pela direita) o denominador x^{3}-1 é positivo e tende a 0^{+}, o numerador tende a 2>0. Então
\lim_{x\to1^{+}}f(x)=+\infty.
Conclusão: há de fato uma assíntota vertical em x=1 (com os comportamentos unilaterais acima).

Passo 4

Definição prática de assíntota horizontal (explicando a ideia): uma reta y=L é assíntota horizontal à direita se \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, e à esquerda se \lim_{x\to-\infty}f(x)=L. Vou calcular os dois limites.
Cálculo de \lim_{x\to+\infty}f(x):
Para x\to+\infty temos x>0, então |x|^{3}=x^{3} e
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{3}-1}.
Divido numerador e denominador por x^{3} para ver o comportamento principal:
f(x)=\frac{1+\dfrac{1}{x^{3}}}{1-\dfrac{1}{x^{3}}}.
Como \dfrac{1}{x^{3}}\to0 quando x\to+\infty, obtemos
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1+0}{1-0}=1.
Portanto há uma assíntota horizontal à direita y=1.

Passo 5

Cálculo de \lim_{x\to-\infty}f(x):
Para x\to-\infty temos x<0, então |x|=-x e |x|^{3}=(-x)^{3}=-x^{3}. Assim
f(x)=\frac{-x^{3}+1}{x^{3}-1}.
Divido numerador e denominador por x^{3} (note que x^{3} é negativo, mas a divisão algébrica vale normalmente):
f(x)=\frac{-1+\dfrac{1}{x^{3}}}{1-\dfrac{1}{x^{3}}}.
Quando x\to-\infty temos \dfrac{1}{x^{3}}\to0, então
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{-1+0}{1-0}=-1.
Portanto há uma assíntota horizontal à esquerda y=-1.

Passo 6

Resumo interpretativo (breve): a presença do valor absoluto faz com que o comportamento em +\infty e em -\infty seja diferente; em +\infty a função tende a 1 e em -\infty tende a -1. Já em x=1 o denominador zera enquanto o numerador não, produzindo a assíntota vertical.

Resposta

x=1
y=1
y=-1

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