Questão 3.
(1.5 pontos) Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função usa o valor absoluto em
, então o comportamento para e pode ser diferente. - Precisamos investigar:
- assíntotas verticais: pontos
onde o denominador se anula (possível ) e a função tende a ; - assíntotas horizontais: limites
e iguais a constantes , o que dá como assíntota horizontal.
- assíntotas verticais: pontos
Passo 2
Definição prática de assíntota vertical (explicando a ideia): se em
o denominador vira zero mas o numerador não zera de forma que a função cresce sem limite em módulo ao nos aproximarmos de
, então existe assíntota vertical
. Procedo encontrando onde o denominador é zero:
(As outras raízes de
são complexas e não interessam para assíntotas reais.)
Agora verifico o numerador em
:
Como o numerador é diferente de zero e o denominador se anula em
, isso indica uma assíntota vertical em
. Vou confirmar calculando os limites laterais para ver o comportamento.
Passo 3
Cálculo dos limites laterais em
(detalhando sinais e raciocínio):
Perto de temos
, logo
e
. Assim, para
próximo de
,
Perto de
- Para
(pela esquerda) o denominador é negativo e tende a , enquanto o numerador tende a . Então
- Para
(pela direita) o denominador é positivo e tende a , o numerador tende a . Então
Conclusão: há de fato uma assíntota vertical em
(com os comportamentos unilaterais acima).
Passo 4
Definição prática de assíntota horizontal (explicando a ideia): uma reta
é assíntota horizontal à direita se
, e à esquerda se
. Vou calcular os dois limites.
Cálculo de
:
Para temos
, então
e
Para
Divido numerador e denominador por
para ver o comportamento principal:
Como
quando
, obtemos
Portanto há uma assíntota horizontal à direita
.
Passo 5
Cálculo de
:
Para temos
, então
e
. Assim
Para
Divido numerador e denominador por
(note que
é negativo, mas a divisão algébrica vale normalmente):
Quando
temos
, então
Portanto há uma assíntota horizontal à esquerda
.
Passo 6
Resumo interpretativo (breve): a presença do valor absoluto faz com que o comportamento em
e em
seja diferente; em
a função tende a
e em
tende a
. Já em
o denominador zera enquanto o numerador não, produzindo a assíntota vertical.