Calcule, caso existe.
lim (x, y) (0,0) x^4 yx^8+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=x^4yx^8+y^2
quando (x,y)to(0,0). Em limites de duas variáveis, para existir um valor único, a aproximação ao ponto deve fornecer sempre o mesmo resultado, independentemente do caminho seguido.

Passo 2

Vamos testar o caminho y=0. Substituindo em f, temos
f(x,0)=x^4cdot 0x^8+0^2=0
Logo, ao longo de y=0, o limite é
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0

Passo 3

Agora teste o caminho y=m,x^4, com m constante. Substituindo em f:
fl(x,mx^4r) =x^4,(m x^4)x^8+(m x^4)^2 =m,x^8x^8+m^2x^8 =m1+m^2
Como isso não depende de x, ao aproximar xto0 obtemos
limxto0fl(x,mx^4r) =m1+m^2,
que varia com m.

Passo 4

Encontramos que, para m=0 o limite vale 0, mas para m=1 vale tfrac12, etc. Como diferentes caminhos dão resultados diferentes, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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