Calcule, caso existe.
lim (x, y) (0,0) 7 x^2(y^3+1)+7 y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) 7x^2(y^3+1)+7y^2x^2+y^2
O conteúdo aqui são limites de funções de duas variáveis. Vamos reescrever a expressão de modo a separar a parte que tende a um valor constante da parte que tende a zero.

Passo 2

Observe que o numerador pode ser fatorado por 7:
7x^2(y^3+1)+7y^2 = 7l(x^2y^3 + x^2 + y^2r)
Assim a função vira
f(x,y) = 7l(x^2y^3 + x^2 + y^2r)x^2+y^2 = 7gl(x^2+y^2x^2+y^2 + x^2y^3x^2+y^2gr)
Isto é,
f(x,y) = 7l(1 + x^2y^3x^2+y^2r)

Passo 3

Agora precisamos verificar que
x^2y^3x^2+y^2 xrightarrow[(x,y)to(0,0)] 0
Para isso note que |x|<= r e |y|<= r se raizx^2+y^2=r. Então
l|x^2y^3x^2+y^2r| <= |x|^2,|y|^3x^2+y^2 <= r^2,r^3x^2+y^2 = r^5x^2+y^2 <= r^5r^2 = r^3
Como rto0 faz r^3to0, segue que
x^2y^3x^2+y^2 to 0

Passo 4

Substituindo de volta em f(x,y), temos
f(x,y) = 7l(1 + underbracex^2y^3x^2+y^2to 0r) longrightarrow 7l(1+0r) = 7

Resposta

boxed7

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