Exercício 15. Seja gamma:[0, pi] C tal que gamma(t)=e^i t. Calcule
integralgamma 1raizz d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgamma1raizz,dz
ao longo da curva gamma:[0,pi]toC dada por gamma(t)=e^it. O conteúdo aqui é integração de funções complexas via parametrização e escolha de ramo para a raiz quadrada.

Passo 2

Parametrizamos a curva por tin[0,pi]. Logo
z=gamma(t)=e^it, dz=gamma'(t),dt=i,e^it,dt

Passo 3

Escolhemos o ramo principal de raizz em que arg z=tin[0,pi]. Assim
raizz=raize^it=e^i,t/2,
e
1raizz=e^-i,t/2

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integralgamma1raizz,dz =integral0^pie^-i,t/2l(i,e^itr)dt =iintegral0^pie^i,t/2dt
A antiderivada de e^i,t/2 em t é 2ie^i,t/2, então
iintegral0^pie^i,t/2dt =i[2ie^i,t/2]0^pi =2l(e^ipi/2-1r) =2l(i-1r)

Passo 5

Finalmente,
2l(i-1r) =2i-2 =-2+2i

Resposta

-2+2i

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