Calcule, caso existir, os seguintes limites:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações fornecidas:
- A função a examinar é
. - O ponto de aproximação é
. - É preciso decidir se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.
Passo 2
Para simplificar a escrita, faço a mudança de variáveis
de modo que
equivale a
. Em termos de
a expressão fica
Lembrete importante sobre limites em duas variáveis: se o limite existir ele deve ter o mesmo valor para qualquer caminho usado para chegar ao ponto. Uma maneira prática de testar existência é calcular o limite ao longo de caminhos diferentes; se obtivermos dois resultados distintos, concluímos que o limite não existe.
Passo 3
Calculo do limite ao longo do caminho
, isto é
(com
):
Portanto, ao aproximar por pontos com
(mas
) o valor da expressão é
, e assim
Passo 4
Calculo do limite ao longo do caminho
, isto é
(com
):
Portanto, ao aproximar por pontos com
(mas
) obtemos
Passo 5
Só para reforçar, calculemos ao longo do caminho
, isto é
(com
):
Logo
Passo 6
Interpretação: alongamos três caminhos de aproximação e obtivemos três valores diferentes (
,
e
). Pelo princípio citado no Passo 2, isso basta para concluir que o limite não pode existir — se existisse teria de ser igual para todos os caminhos. Assim o limite pedido não existe.
Resposta
Não existe o limite.