Calcule, caso existir, os seguintes limites:
(f) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{(x-1)^{4}-(y-2)^{4}}{(x-1)^{4}+(y-2)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{(x-1)^{4}-(y-2)^{4}}{(x-1)^{4}+(y-2)^{4}}.
Informações fornecidas:
  • A função a examinar é F(x,y)=\dfrac{(x-1)^{4}-(y-2)^{4}}{(x-1)^{4}+(y-2)^{4}}.
  • O ponto de aproximação é (x,y)\to(1,2).
  • É preciso decidir se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Para simplificar a escrita, faço a mudança de variáveis
u=x-1,\qquad v=y-2,
de modo que (x,y)\to(1,2) equivale a (u,v)\to(0,0). Em termos de u,v a expressão fica
\frac{u^{4}-v^{4}}{u^{4}+v^{4}}.
Lembrete importante sobre limites em duas variáveis: se o limite existir ele deve ter o mesmo valor para qualquer caminho usado para chegar ao ponto. Uma maneira prática de testar existência é calcular o limite ao longo de caminhos diferentes; se obtivermos dois resultados distintos, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

Calculo do limite ao longo do caminho y=2, isto é v=0 (com u\to0):
\frac{u^{4}-0}{u^{4}+0}=\frac{u^{4}}{u^{4}}=1\quad\text{para }u\neq0.
Portanto, ao aproximar por pontos com y=2 (mas x\neq1) o valor da expressão é 1, e assim
\lim_{\substack{(u,v)\to(0,0)\\\ v=0}} \frac{u^{4}-v^{4}}{u^{4}+v^{4}} = 1.

Passo 4

Calculo do limite ao longo do caminho x=1, isto é u=0 (com v\to0):
\frac{0-v^{4}}{0+v^{4}}=\frac{-v^{4}}{v^{4}}=-1\quad\text{para }v\neq0.
Portanto, ao aproximar por pontos com x=1 (mas y\neq2) obtemos
\lim_{\substack{(u,v)\to(0,0)\\\ u=0}} \frac{u^{4}-v^{4}}{u^{4}+v^{4}} = -1.

Passo 5

Só para reforçar, calculemos ao longo do caminho y-2=x-1, isto é v=u (com u\to0):
\frac{u^{4}-u^{4}}{u^{4}+u^{4}}=\frac{0}{2u^{4}}=0\quad\text{para }u\neq0.
Logo
\lim_{\substack{(u,v)\to(0,0)\\\ v=u}} \frac{u^{4}-v^{4}}{u^{4}+v^{4}} = 0.

Passo 6

Interpretação: alongamos três caminhos de aproximação e obtivemos três valores diferentes ( 1, -1 e 0 ). Pelo princípio citado no Passo 2, isso basta para concluir que o limite não pode existir — se existisse teria de ser igual para todos os caminhos. Assim o limite pedido não existe.

Resposta

Não existe o limite.

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