f(x, y)=x^{2} y
restrito ao conjunto
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 4 \text { e } y \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=x^{2}y
e o conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}\le 4\\ \text{e}\\ y\ge 0\}.
Vou assumir que o objetivo é encontrar os extremos absolutos (máximo e mínimo) de f restrita ao conjunto A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x,y)=x^{2}y.
  • O domínio A é o disco de raio 2 cortado pela metade superior (semicírculo fechado): todos os pontos com x^{2}+y^{2}\le 4 e y\ge0.
  • O contorno de A tem duas partes: o arco circular x^{2}+y^{2}=4,\\ y\ge0 e o segmento de reta y=0,\\ x\in[-2,2].
O que precisamos entregar:
  • Determinar o(s) ponto(s) onde f atinge o mínimo absoluto sobre A e o valor mínimo.
  • Determinar o(s) ponto(s) onde f atinge o máximo absoluto sobre A e o valor máximo.

Passo 2

Observação sobre existência de extremos (breve aula): A é fechado e limitado (compacto) e f é um polinômio (contínua). Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge máximo e mínimo absolutos em A. Estratégia prática: procurar pontos críticos no interior de A (onde o gradiente é zero) e analisar a fronteira de A. Depois comparar os valores obtidos.

Passo 3

Calcular o gradiente de f (para achar pontos críticos no interior):
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}.
Pontos críticos resolvem
2xy=0,\qquad x^{2}=0.
Da segunda equação temos x^{2}=0\Rightarrow x=0. Substituindo em 2xy=0 fica 0=0, ou seja, qualquer ponto com x=0 é crítico (desde que pertença ao interior considerado, ou seja, satisfaça x^{2}+y^{2}<4 e y>0 para ser interior). Portanto o conjunto de pontos críticos interiores é \{(0,y): 0<y<2\}. (Os pontos com y=0 estão na fronteira.)

Passo 4

Avaliar f nos pontos críticos interiores: para x=0,
f(0,y)=0\quad\text{(para qualquer \(y\))}.
Logo, entre os candidatos, temos valor 0.

Passo 5

Analisar a fronteira de A. A fronteira é união de duas partes:
  • Segmento S:\\ y=0,\\ x\in[-2,2].
  • Arco circular C:\\ x^{2}+y^{2}=4,\\ y\ge0.
Vamos examinar cada parte separadamente.

Passo 6

Analisar o segmento S. Para y=0 vale
f(x,0)=x^{2}\cdot 0=0\qquad\text{para }x\in[-2,2].
Portanto todos os pontos do segmento S dão valor 0.

Passo 7

Analisar o arco circular C. Uma maneira direta (simples e didática) é parametrizar o arco por um ângulo. Tome
x=2\cos\theta,\qquad y=2\sin\theta,\qquad \theta\in[0,\pi].
Substituindo em f:
f(\theta)=f(2\cos\theta,2\sin\theta)= (2\cos\theta)^{2}\,(2\sin\theta)=8\cos^{2}\theta\sin\theta.
Agora reduzimos o problema a maximizar/minimizar a função de uma variável f(\theta)=8\cos^{2}\theta\sin\theta para \theta\in[0,\pi].

Passo 8

Derivar f(\theta) e achar os pontos críticos em [0,\pi]. Primeiro calcule a derivada usando regra do produto:
f'(\theta)=8\frac{d}{d\theta}\big(\cos^{2}\theta\sin\theta\big).
Use u(\theta)=\cos^{2}\theta e v(\theta)=\sin\theta. Então
u'(\theta)=-2\cos\theta\sin\theta,\qquad v'(\theta)=\cos\theta.
Portanto
f'(\theta)=8\big(u'v+uv'\big)=8\big(-2\cos\theta\sin\theta\cdot\sin\theta+\cos^{2}\theta\cdot\cos\theta\big).
Simplificando:
f'(\theta)=8\big(-2\cos\theta\sin^{2}\theta+\cos^{3}\theta\big)=8\cos\theta\big(\cos^{2}\theta-2\sin^{2}\theta\big).
Usando \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta obtemos
\cos^{2}\theta-2\sin^{2}\theta= \cos^{2}\theta-2(1-\cos^{2}\theta)=3\cos^{2}\theta-2.
Assim
f'(\theta)=8\cos\theta\,(3\cos^{2}\theta-2).
Zerar f'(\theta) dá três tipos de soluções em [0,\pi]:
  1. \cos\theta=0\Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{2}.
  2. 3\cos^{2}\theta-2=0\Rightarrow \cos^{2}\theta=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \cos\theta=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}.
    No intervalo [0,\pi] as soluções são
\theta_{1}=\operatorname{arccos}\!\big(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\big),\qquad \theta_{2}=\operatorname{arccos}\!\big(-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\big)=\pi-\theta_{1},
além de \theta=\pi/2. Também checamos os extremos do intervalo \theta=0 e \theta=\pi.

Passo 9

Avaliar f(\theta) nos candidatos:
  • Para \theta=0 ou \theta=\pi: y=0\Rightarrow f=0.
  • Para \theta=\pi/2: \cos(\pi/2)=0\Rightarrow f=0.
  • Para \cos^{2}\theta=\dfrac{2}{3}: temos \cos^{2}\theta=2/3 e
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-\tfrac{2}{3}}=\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\quad(\text{pois }y\ge0\Rightarrow\sin\theta\ge0).
Então
f(\theta)=8\cos^{2}\theta\sin\theta = 8\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{9}.
Esse valor é positivo e maior que 0. Ambos os ângulos \theta_{1} e \theta_{2} dão o mesmo valor (pela simetria).
Convertendo de volta para coordenadas cartesianas os pontos onde ocorre esse máximo: com \cos^{2}\theta=2/3 e \sin\theta=1/\sqrt{3},
x=2\cos\theta=\pm 2\sqrt{\tfrac{2}{3}}=\pm \frac{2\sqrt{6}}{3},\qquad y=2\sin\theta=2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Verifique: x^{2}=\tfrac{8}{3},\\ y^{2}=\tfrac{4}{3} e x^{2}+y^{2}=4, está na fronteira C.

Passo 10

Comparando todos os valores obtidos:
  • Em muitos pontos (todo o segmento y=0 e toda a reta x=0 com 0\le y\le2) f=0.
  • No arco C encontramos o valor maior \dfrac{16\sqrt{3}}{9} em dois pontos simétricos.
    Como f(x,y)=x^{2}y\ge 0 para todo (x,y)\in A (porque x^{2}\ge0 e y\ge0), não há valores negativos; logo o mínimo absoluto é 0 e o máximo absoluto é \dfrac{16\sqrt{3}}{9}.

Resposta

Máximo absoluto: \dfrac{16\sqrt{3}}{9}, atingido em \left(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right) e \left(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3},\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right).
Mínimo absoluto: 0, atingido em todos os pontos de A tais que x=0 ou y=0 (isto é, \{(0,y):0\le y\le2\}\cup\{(x,0):-2\le x\le2\}).

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