restrito ao conjunto
Passo 1
O enunciado fornece a função
e o conjunto
Vou assumir que o objetivo é encontrar os extremos absolutos (máximo e mínimo) de
restrita ao conjunto
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O domínio
é o disco de raio cortado pela metade superior (semicírculo fechado): todos os pontos com e . - O contorno de
tem duas partes: o arco circular e o segmento de reta .
O que precisamos entregar:
- Determinar o(s) ponto(s) onde
atinge o mínimo absoluto sobre e o valor mínimo. - Determinar o(s) ponto(s) onde
atinge o máximo absoluto sobre e o valor máximo.
Passo 2
Observação sobre existência de extremos (breve aula):
é fechado e limitado (compacto) e
é um polinômio (contínua). Pelo Teorema de Weierstrass,
atinge máximo e mínimo absolutos em
. Estratégia prática: procurar pontos críticos no interior de
(onde o gradiente é zero) e analisar a fronteira de
. Depois comparar os valores obtidos.
Passo 3
Calcular o gradiente de
(para achar pontos críticos no interior):
Pontos críticos resolvem
Da segunda equação temos
. Substituindo em
fica
, ou seja, qualquer ponto com
é crítico (desde que pertença ao interior considerado, ou seja, satisfaça
e
para ser interior). Portanto o conjunto de pontos críticos interiores é
. (Os pontos com
estão na fronteira.)
Passo 4
Avaliar
nos pontos críticos interiores: para
,
Logo, entre os candidatos, temos valor
.
Passo 5
Analisar a fronteira de
. A fronteira é união de duas partes:
- Segmento
. - Arco circular
.
Vamos examinar cada parte separadamente.
Passo 6
Analisar o segmento
. Para
vale
Portanto todos os pontos do segmento
dão valor
.
Passo 7
Analisar o arco circular
. Uma maneira direta (simples e didática) é parametrizar o arco por um ângulo. Tome
Substituindo em
:
Agora reduzimos o problema a maximizar/minimizar a função de uma variável
para
.
Passo 8
Derivar
e achar os pontos críticos em
. Primeiro calcule a derivada usando regra do produto:
Use
e
. Então
Portanto
Simplificando:
Usando
obtemos
Assim
Zerar
dá três tipos de soluções em
:
-
. -
.
No intervaloas soluções são
além de
. Também checamos os extremos do intervalo
e
.
Passo 9
Avaliar
nos candidatos:
- Para
ou : . - Para
: . - Para
: temos e
Então
Esse valor é positivo e maior que
. Ambos os ângulos
e
dão o mesmo valor (pela simetria).
Convertendo de volta para coordenadas cartesianas os pontos onde ocorre esse máximo: com
e
,
Verifique:
e
, está na fronteira
.
Passo 10
Comparando todos os valores obtidos:
- Em muitos pontos (todo o segmento
e toda a reta com ) . - No arco
encontramos o valor maior em dois pontos simétricos.
Comopara todo (porque e ), não há valores negativos; logo o mínimo absoluto é e o máximo absoluto é .
Resposta
Máximo absoluto:
, atingido em
e
.
Mínimo absoluto:
, atingido em todos os pontos de
tais que
ou
(isto é,
).