Estime o valor de (0,95)^{2,01} usando Polinômios de Taylor de ordem 1 e 2.

Passo 1

O que o enunciado pede: estimar o valor de (0,95)^{2,01} usando Polinômios de Taylor de ordem 1 e 2.
Informações relevantes que temos:
  • Queremos aproximar o número (0,95)^{2,01}.
  • Vou trabalhar com a função f(x)=x^{2{,}01}.
  • Como 0{,}95 está perto de 1, vou expandir em torno do ponto a=1.
  • Defino h=x-a. Neste problema x=0{,}95 e a=1, logo h=0{,}95-1=-0{,}05.

Passo 2

Breve explicação do método (com calma): o Polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno de a é uma soma que usa as derivadas de f em a para aproximar f(x). A fórmula geral (para função suficientemente diferenciável) é
f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h+\frac{f''(a)}{2!}h^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^{n}.
Aqui:
  • f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em x=a.
  • h é a diferença x-a.
    Para ordem 1 (reta tangente) usamos apenas os dois primeiros termos; para ordem 2 acrescentamos o termo em h^{2}. Esse polinômio dá boa aproximação quando h é pequeno (aqui h=-0{,}05 é pequeno).

Passo 3

Calcular derivadas da função f(x)=x^{2{,}01} e avaliá-las em a=1.
Defino \alpha=2{,}01 para notação compacta.
Derivadas:
f(x)=x^{\alpha}, \qquad f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}, \qquad f''(x)=\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}.
Avaliar em a=1:
f(1)=1^{\alpha}=1, \qquad f'(1)=\alpha\cdot 1^{\alpha-1}=\alpha, \qquad f''(1)=\alpha(\alpha-1)\cdot 1^{\alpha-2}=\alpha(\alpha-1).
Substituindo \alpha=2{,}01 obtemos:
f(1)=1,\qquad f'(1)=2{,}01,\qquad f''(1)=2{,}01\cdot 1{,}01=2{,}0301.

Passo 4

Preparar h e a forma dos polinômios que vamos usar.
Temos x=0{,}95, a=1 então
h=x-a=0{,}95-1=-0{,}05.
Polinômio de Taylor de ordem 1 (linear):
T_{1}(1+h)=f(1)+f'(1)h.
Polinômio de Taylor de ordem 2 (quadrático):
T_{2}(1+h)=f(1)+f'(1)h+\frac{f''(1)}{2}h^{2}.

Passo 5

Calcular a aproximação de ordem 1 passo a passo.
Usando f(1)=1, f'(1)=2{,}01 e h=-0{,}05:
T_{1}(0{,}95)=1+2{,}01\cdot(-0{,}05).
Fazendo as contas (mostrando cada etapa):
2{,}01\cdot 0{,}05 = 0{,}1005,
então
T_{1}(0{,}95)=1-0{,}1005=0{,}8995.
Portanto a aproximação de ordem 1 é \,0{,}8995.

Passo 6

Calcular a aproximação de ordem 2 passo a passo.
Usando f''(1)=2{,}0301 e h^{2}=(-0{,}05)^{2}=0{,}0025:
\frac{f''(1)}{2}h^{2}=\frac{2{,}0301}{2}\cdot 0{,}0025=1{,}01505\cdot 0{,}0025.
Calcule:
1{,}01505\cdot 0{,}0025 = 0{,}002537625.
Somando ao termo linear já calculado ( 0{,}8995):
T_{2}(0{,}95)=0{,}8995+0{,}002537625=0{,}902037625.
Arredondando razoavelmente, \,0{,}902037625\approx0{,}902038. Portanto a aproximação de ordem 2 é \,0{,}902037625 (ou 0{,}902038 arredondado).

Passo 7

Curto comentário sobre precisão (para você ficar tranquilo): o termo resto de Taylor de ordem 2 (forma de Lagrange) é
R_{2}=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}h^{3}
para algum \xi entre 0{,}95 e 1. A terceira derivada é
f^{(3)}(x)=\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)x^{\alpha-3}.
Com \alpha=2{,}01 obtemos o fator \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)=2{,}01\cdot1{,}01\cdot0{,}01=0{,}020301. Usando que x^{\alpha-3} neste intervalo é aproximadamente \le 1{,}053 (um pequeno crescimento), um limite para |f^{(3)}(\xi)| é cerca de 0{,}0214. Assim um cota para o resto é
|R_{2}|\lesssim\frac{0{,}0214}{6}\cdot |{-}0{,}05|^{3}\approx 4{,}5\times 10^{-7}.
Ou seja, o termo de ordem 3 contribui menos que cerca de 5\cdot 10^{-7} — muito pequeno. Isso confirma que a aproximação de ordem 2 está correta até pelo menos 6 casas decimais depois da vírgula.

Resposta

T_{1}(0{,}95)=0{,}8995
T_{2}(0{,}95)=0{,}902037625

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