Estime o valor de
usando Polinômios de Taylor de ordem 1 e 2.
Passo 1
O que o enunciado pede: estimar o valor de
usando Polinômios de Taylor de ordem 1 e 2.
Informações relevantes que temos:
- Queremos aproximar o número
. - Vou trabalhar com a função
. - Como
está perto de , vou expandir em torno do ponto . - Defino
. Neste problema e , logo .
Passo 2
Breve explicação do método (com calma): o Polinômio de Taylor de ordem
de uma função
em torno de
é uma soma que usa as derivadas de
em
para aproximar
. A fórmula geral (para função suficientemente diferenciável) é
Aqui:
-
é a -ésima derivada de avaliada em . -
é a diferença .
Para ordem 1 (reta tangente) usamos apenas os dois primeiros termos; para ordem 2 acrescentamos o termo em. Esse polinômio dá boa aproximação quando é pequeno (aqui é pequeno).
Passo 3
Calcular derivadas da função
e avaliá-las em
.
Defino
para notação compacta.
Derivadas:
Derivadas:
Avaliar em
:
Substituindo
obtemos:
Passo 4
Preparar
e a forma dos polinômios que vamos usar.
Temos ,
então
Temos
Polinômio de Taylor de ordem 1 (linear):
Polinômio de Taylor de ordem 2 (quadrático):
Passo 5
Calcular a aproximação de ordem 1 passo a passo.
Usando
,
e
:
Fazendo as contas (mostrando cada etapa):
então
Portanto a aproximação de ordem 1 é
.
Passo 6
Calcular a aproximação de ordem 2 passo a passo.
Usando
e
:
Calcule:
Somando ao termo linear já calculado (
):
Arredondando razoavelmente,
. Portanto a aproximação de ordem 2 é
(ou
arredondado).
Passo 7
Curto comentário sobre precisão (para você ficar tranquilo): o termo resto de Taylor de ordem 2 (forma de Lagrange) é
para algum
entre
e
. A terceira derivada é
Com
obtemos o fator
. Usando que
neste intervalo é aproximadamente
(um pequeno crescimento), um limite para
é cerca de
. Assim um cota para o resto é
Ou seja, o termo de ordem 3 contribui menos que cerca de
— muito pequeno. Isso confirma que a aproximação de ordem 2 está correta até pelo menos 6 casas decimais depois da vírgula.