Seja a função
.
Determine o domínio de
e represente-o graficamente.
Determine o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \ln(y - x^{2} - 1) $ e precisa descobrir o domínio dela, ou seja, todos os pares
que fazem com que a função seja válida. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e inequações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembra que o logaritmo natural, $ \ln(z) $, só é definido quando o argumento $ z $ é maior que zero. Então, para a nossa função $ \ln(y - x^{2} - 1) $ ser válida, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos isolar $ y $ na inequação:
Isso significa que, para cada valor de $ x $, o valor de $ y $ tem que ser maior que $ x^{2} + 1 $.
Passo 4
Então, o domínio da função $ f(x, y) $ é o conjunto de todos os pontos
no plano que satisfazem a condição $ y > x^{2} + 1 $.
Passo 5
Agora, vamos representar graficamente esse domínio. A equação $ y = x^{2} + 1 $ é uma parábola voltada para cima, com vértice no ponto
. O domínio da função é toda a região acima dessa parábola, porque $ y $ tem que ser maior que $ x^{2} + 1 $.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \ln(y - x^{2} - 1) $ é composto por todos os pares
tais que $ y > x^{2} + 1 $. Graficamente, isso corresponde à região situada acima da parábola $ y = x^{2} + 1 $ no plano $ xy $.