Seja a função f(x, y)=ln (y-x^2-1).
Determine o domínio de f e represente-o graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \ln(y - x^{2} - 1) $ e precisa descobrir o domínio dela, ou seja, todos os pares f(x, y) = ln(y - x^2 - 1) que fazem com que a função seja válida. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e inequações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembra que o logaritmo natural, $ \ln(z) $, só é definido quando o argumento $ z $ é maior que zero. Então, para a nossa função $ \ln(y - x^{2} - 1) $ ser válida, precisamos que:
ln(z)

Passo 3

Agora, vamos isolar $ y $ na inequação:
y
Isso significa que, para cada valor de $ x $, o valor de $ y $ tem que ser maior que $ x^{2} + 1 $.

Passo 4

Então, o domínio da função $ f(x, y) $ é o conjunto de todos os pontos f(x, y) no plano que satisfazem a condição $ y > x^{2} + 1 $.

Passo 5

Agora, vamos representar graficamente esse domínio. A equação $ y = x^{2} + 1 $ é uma parábola voltada para cima, com vértice no ponto y = x^2 + 1 . O domínio da função é toda a região acima dessa parábola, porque $ y $ tem que ser maior que $ x^{2} + 1 $.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = \ln(y - x^{2} - 1) $ é composto por todos os pares f(x, y) = ln(y - x^2 - 1) tais que $ y > x^{2} + 1 $. Graficamente, isso corresponde à região situada acima da parábola $ y = x^{2} + 1 $ no plano $ xy $.

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