Calcule caso os limites existam. Justifique.
4. \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}, onde f(x) é dada
= \begin{cases}x^{2}, & x \geq 1 ; \\\\ 2 x-1, & x<1 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral esquerdo
\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},
onde a função f\) é dada por \[f(x)=\begin{cases} x^{2}, & x\ge 1,\\[4pt] 2x-1, & x<1. \end{cases}
Informações relevantes do enunciado:
  • A aproximação é pela esquerda de 1\], ou seja só valem os valores de \(x com x<1.
  • A expressão do quociente usa f(1), que precisa ser calculado a partir da definição de f.]

Passo 2

Calcular f(1). Como a definição diz que para x\ge 1 vale f(x)=x^{2}, então em x=1 usamos esse ramo e obtemos
f(1)=1^{2}=1.

Passo 3

Como o limite é pela esquerda ( x\to 1^-), para x próximos de 1 com x<1 devemos usar o ramo f(x)=2x-1. Substituindo f(x) e f(1) no quociente:
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(2x-1)-1}{x-1}.
Agora simplificar o numerador:
(2x-1)-1=2x-2=2(x-1).

Passo 4

Continuação da simplificação: para x\neq 1 (que é o caso em limites) podemos cancelar x-1 no numerador e denominador:
\frac{2(x-1)}{x-1}=2\qquad\text{(para }x\neq 1\text{)}.
Logo, para todos os x próximos de 1 pela esquerda o valor do quociente é a constante 2. O limite de uma função constante quando x tende a qualquer ponto é essa constante; portanto
\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.

Passo 5

Comentário didático e reforço: essa forma de cálculo é análoga ao cálculo da derivada lateral. O quociente \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} lembram a definição de derivada em 1. Aqui, do lado esquerdo o quociente se simplificou para a constante 2, indicando que a derivada à esquerda em 1 é 2. Um exemplo semelhante e clássico é
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+1)=2,
onde também se faz uma fatoração e cancela-se x-1.

Resposta

2

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