Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O integrando é
. - O domínio de integração é dado por
variando de a e, para cada , variando de a . - A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla.
Passo 2
Observação útil antes de calcular: para cada
fixo o integrando é uma função de
da forma
multiplicado por algo que depende só de
. Isso sugere duas maneiras equivalentes e rápidas:
- Calcular explicitamente a integral interna em
, tratando como constante. - Usar simetria (paridade): verificar se a função em
é ímpar e o intervalo de integração em é simétrico ; nesse caso a integral interna será zero.
Vou primeiro fazer o cálculo direto e depois comentar a interpretação por simetria (para fixar a ideia).
Passo 3
Calcule a integral interna tratanto
como constante. Escrevendo o integrando em fatorado:
Logo
pois
é constante em relação a
.
Passo 4
Calcule a integral
. Usando a primitiva de
, tem-se
Portanto, para todo
,
Passo 5
Agora integramos em
a integral externa. Como a integral interna vale
para todo
em
,
Passo 6
Comentário didático (simetria): observe que, para
fixo, a função
é uma função ímpar em
(porque muda de sinal quando
vira
), e o intervalo de integração
é simétrico em torno de zero. A integral de qualquer função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Isso nos dá a resposta de forma imediata sem cálculo das primitivas. Exemplo simples para lembrar:
para qualquer
.
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