Calcule as integrais:
\int_{0}^{2} \int_{-y}^{y}\left(x y^{2}-x y\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{-y}^{y}\left(x y^{2}-x y\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • O integrando é \,x y^{2}-x y\,.
  • O domínio de integração é dado por y variando de 0 a 2 e, para cada y, x variando de -y a y.
  • A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla.

Passo 2

Observação útil antes de calcular: para cada y fixo o integrando é uma função de x da forma x multiplicado por algo que depende só de y. Isso sugere duas maneiras equivalentes e rápidas:
  1. Calcular explicitamente a integral interna em x, tratando y como constante.
  2. Usar simetria (paridade): verificar se a função em x é ímpar e o intervalo de integração em x é simétrico [-y,y]; nesse caso a integral interna será zero.
Vou primeiro fazer o cálculo direto e depois comentar a interpretação por simetria (para fixar a ideia).

Passo 3

Calcule a integral interna tratanto y como constante. Escrevendo o integrando em fatorado:
x y^{2}-x y = x\,(y^{2}-y).
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\int_{-y}^{y}\left(x y^{2}-x y\right)\,dx = \int_{-y}^{y} x\,(y^{2}-y)\,dx = (y^{2}-y)\int_{-y}^{y} x\,dx,
pois (y^{2}-y) é constante em relação a x.

Passo 4

Calcule a integral \int_{-y}^{y} x\,dx. Usando a primitiva de x, tem-se
\int_{-y}^{y} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-y}^{y} = \tfrac{y^{2}}{2}-\tfrac{(-y)^{2}}{2} = \tfrac{y^{2}}{2}-\tfrac{y^{2}}{2} = 0.
Portanto, para todo y\in[0,2],
\int_{-y}^{y}\left(x y^{2}-x y\right)\,dx = (y^{2}-y)\cdot 0 = 0.

Passo 5

Agora integramos em y a integral externa. Como a integral interna vale 0 para todo y em [0,2],
\int_{0}^{2}\left(\int_{-y}^{y}\left(x y^{2}-x y\right)\,dx\right)dy = \int_{0}^{2} 0 \,dy = 0.

Passo 6

Comentário didático (simetria): observe que, para y fixo, a função x\mapsto x(y^{2}-y) é uma função ímpar em x (porque muda de sinal quando x vira -x), e o intervalo de integração [-y,y] é simétrico em torno de zero. A integral de qualquer função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Isso nos dá a resposta de forma imediata sem cálculo das primitivas. Exemplo simples para lembrar: \int_{-a}^{a} x\,dx = 0 para qualquer a>0.

Resposta

0

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