Calcule caso os limites existam. Justifique.
9. \lim _{x \rightarrow 2^{-}} x^{2}-2 x+10

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular o limite \lim_{x\to 2^{-}} x^{2}-2x+10.
  • Informação disponível: a expressão é o polinômio \,x^{2}-2x+10, que está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A seta x\to 2^{-} indica que estamos nos aproximando de 2 pela esquerda (valores menores que 2) — isto é, um limite lateral esquerdo.

Passo 2

O que significa calcular esse limite (intuição e ferramentas que vamos usar):
  • Intuitivamente, calcular \lim_{x\to 2^{-}} f(x) é ver para que valor os valores de f(x) vão quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2.
  • Uma propriedade muito útil: funções polinomiais são contínuas em todo ponto real. Isso quer dizer que o limite quando x\to a (pela esquerda, pela direita ou de maneira geral) de um polinômio p(x) é simplesmente o valor p(a).
  • Outra forma mais elementar (usada abaixo) é aplicar as leis de limite: o limite da soma é a soma dos limites, o limite do produto por constante é a constante vezes o limite, e o limite de x quando x\to 2^{-} é 2. Essas leis são válidas para limites unilaterais também, desde que os limites individuais existam.

Passo 3

Aplicando as leis de limite termo a termo:
  • Primeiro, a função identidade satisfaz \lim_{x\to 2^{-}} x = 2.
  • Usando isso,
\lim_{x\to 2^{-}} x^{2} = \bigl(\lim_{x\to 2^{-}} x\bigr)^{2} = 2^{2} = 4.
  • Para o termo linear,
\lim_{x\to 2^{-}} (-2x) = -2\cdot \lim_{x\to 2^{-}} x = -2\cdot 2 = -4.
  • E para a constante,
\lim_{x\to 2^{-}} 10 = 10.

Passo 4

Somando os limites (pela propriedade da soma de limites):
\lim_{x\to 2^{-}} \bigl(x^{2}-2x+10\bigr) = \lim_{x\to 2^{-}} x^{2} \;+\; \lim_{x\to 2^{-}} (-2x) \;+\; \lim_{x\to 2^{-}} 10 = 4 + (-4) + 10.

Passo 5

Calcule a soma final:
4 + (-4) + 10 = 10.
Logo, o limite existe e vale 10. Força aí — esse tipo de limite costuma ser dos mais tranquilos na prova: polinômio, substituição direta.

Resposta

10

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