Calcule, caso possível, a soma da série dada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
. Isso cai no conteúdo de séries geométricas, e vamos precisar reconhecer o termo geral como uma potência de uma razão comum.
Passo 2
Reescrevendo o termo
vemos que ele é igual a , pois
. Então a série vira .
Identificamos que é uma série geométrica com primeiro termo (quando
) e razão .
Identificamos que é uma série geométrica com primeiro termo
Passo 3
Verificamos a convergência: , logo a série converge. Para séries geométricas convergentes usamos
.
Substituindo e temos
Substituindo
Agora simplificamos o denominador:
e portanto
Para racionalizar multiplicamos numerador e denominador por
:
Resposta
A soma da série é
.