Calcule, caso possível, a soma da série dada.
sumn=0^+infty 2^n5^n / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita sumn=0^+infty 2^n5^n/2. Isso cai no conteúdo de séries geométricas, e vamos precisar reconhecer o termo geral como uma potência de uma razão comum.

Passo 2

Reescrevendo o termo 2^n5^n/2 vemos que ele é igual a , pois (2/raiz5)^n. Então a série vira .
Identificamos que é uma série geométrica com primeiro termo 5^n/2=(raiz5)^n (quando sumn=0^+infty(2/raiz5)^n) e razão .

Passo 3

Verificamos a convergência: , logo a série converge. Para séries geométricas convergentes usamos |r|=2/raiz5approx0,894<1.
Substituindo sumn=0^inftyar^n=a1-r e temos
a=1
Agora simplificamos o denominador:
r=2/raiz5
e portanto
S=11-2raiz5
Para racionalizar multiplicamos numerador e denominador por 1-2raiz5=raiz5-2raiz5, :
S=1raiz5-2raiz5=raiz5raiz5-2

Resposta

A soma da série é 5+2raiz5.

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