Estude o sinal das seguintes funções. Determine também os intervalos de crescimento e decrescimento das mesmas (através do estudo do sinal da derivada). Use outras técnicas que você preferir, se preciso, para tracar seus gráficos.
y=(1-2 x)(x+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da função y=(1-2x)(x+1) e também determinar os intervalos de crescimento e decrescimento usando o sinal da derivada. O conteúdo é estudo de funções polinomiais (produto e derivação) para traçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro encontramos os zeros de y resolvendo (1-2x)(x+1)=0. Assim obtemos as raízes
1-2x=0implies x=tfrac12, x+1=0implies x=-1

Passo 3

Para estudar o sinal fazemos a análise de sinal do produto. Como são dois fatores lineares, o sinal de y é:
  • y>0 quando ambos os fatores têm o mesmo sinal, isto é para -1.
  • y<0 quando os fatores têm sinais opostos, ou seja em x<-1 e em x>tfrac12.

Passo 4

Agora derivamos y. É mais simples usar a forma expandida:
y=-2x^2 - x + 1

Passo 5

Calculamos
y' = ddx(-2x^2 - x +1) = -4x -1

Passo 6

A raiz de y' vem de -4x-1=0, logo x=-tfrac14. Para o sinal de y':
  • Em x< -tfrac14, temos -4x-1)>0, então a função é crescente.
  • Em x> -tfrac14, temos -4x-1)<0, então a função é decrescente.

Resposta

A função é negativa em ( -infty, -1) e em (tfrac12, +infty), e positiva em (-1, tfrac12). Ela é crescente em ( -infty, -tfrac14) e decrescente em ( -tfrac14, +infty).

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