Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para diversos valores de y0. Descreva as relações que existem entre as soluções.
ld yd t=-2 y+5 y(0)=y0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de primeira ordem dydt=-2y+5 com condição inicial y(0)=y0, depois desenhar as curvas para vários y0 e descrever como elas se relacionam. O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem e vamos usar o método de solução homogênea + particular.

Passo 2

Reescrevemos a EDO em forma padrão de equação linear:
dydt+2y=5
Aqui identificamos o coeficiente de y (que é 2) e a parte não homogênea (que é 5).

Passo 3

Para a parte homogênea, igualamos a zero a termo não homogêneo:
dyhdt+2yh=0
cuja solução é
yh(t)=Ce^-2t
Para uma solução particular constante yp=A, basta colocar dyp/dt=0 e achar
2A=5implies A=52

Passo 4

A solução geral fica
y(t)=yh(t)+yp=52+Ce^-2t
Impondo y(0)=y0 obtemos
y0=52+Cimplies C=y0-52
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Passo 5

A forma explícita da solução é
boxedy(t)=52+l(y0-52r)e^-2t

Passo 6

Analisando o comportamento para diferentes y0:
  • Se y0>5/2, y(t) decai exponencialmente de y0 para 5/2.
  • Se y0<5/2, y(t) cresce exponencialmente até 5/2.
  • Se y0=5/2, y(t)equiv5/2 é a solução de equilíbrio.
    Todas as curvas tendem monotonicamente a 5/2 e nunca se cruzam; a diferença entre duas soluções com condições iniciais distintas decai como e^-2t.

Resposta

A solução geral do PVI é
$$y(t)=\frac52+\bigl(y_0-\tfrac52\bigr)e^{-2t}.
$$
Para qualquer y(t)=52+l(y0-tfrac52r)e^-2t , as soluções aproximam-se exponencialmente de y0; se 5/2 decaem, se y0>5/2 crescem, e para y0<5/2 ficam estacionárias. Todas as curvas nunca se cruzam e convergem ao equilíbrio y0=5/2.

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