Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para diversos valores de
. Descreva as relações que existem entre as soluções.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI de primeira ordem
com condição inicial
, depois desenhar as curvas para vários
e descrever como elas se relacionam. O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem e vamos usar o método de solução homogênea + particular.
Passo 2
Reescrevemos a EDO em forma padrão de equação linear:
Aqui identificamos o coeficiente de
Passo 3
Para a parte homogênea, igualamos a zero a termo não homogêneo:
cuja solução é
Para uma solução particular constante
, basta colocar
e achar
Passo 4
A solução geral fica
Impondo
Logo
Passo 5
A forma explícita da solução é
Passo 6
Analisando o comportamento para diferentes
:
- Se
, decai exponencialmente de para . - Se
, cresce exponencialmente até . - Se
, é a solução de equilíbrio.
Todas as curvas tendem monotonicamente ae nunca se cruzam; a diferença entre duas soluções com condições iniciais distintas decai como .
Resposta
A solução geral do PVI é
$$y(t)=\frac52+\bigl(y_0-\tfrac52\bigr)e^{-2t}.
$$
Para qualquer , as soluções aproximam-se exponencialmente de
; se
decaem, se
crescem, e para
ficam estacionárias. Todas as curvas nunca se cruzam e convergem ao equilíbrio
.
Para qualquer