Calcule, caso possível, a soma da série dada.
sumn=0^+infty 1(3-raiz5)^n

Passo 1

O exercício pede para calcular a soma da série infinita sumn=0^+infty 1(3-raiz5)^n. O conteúdo principal aqui é série geométrica, e vamos precisar identificar o termo geral como uma potência de uma razão r e aplicar o critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Escrevendo o termo geral como uma série geométrica, temos
sumn=0^+infty 1(3-raiz5)^n = sumn=0^+infty gl(13-raiz5gr)^n
Aqui a razão da série é r = 13-raiz5. Lembrando que uma série geométrica sumn=0^infty r^n converge se, e somente se, |r|<1.

Passo 3

Para avaliar |r|, é útil racionalizar o denominador:
r = 13-raiz5 cdot 3+raiz53+raiz5 = 3+raiz5(3-raiz5)(3+raiz5) = 3+raiz59-5 = 3+raiz54
Como 3+raiz5approx 5,236, temos rapprox 1,309>1. Logo |r|>1, e, pelo critério de convergência da série geométrica, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois a razão geométrica r=tfrac13-raiz5>1, portanto não há soma finita.

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