Calcule a integral iterada.
integral0^1 integralx^2^x(2 x+2 y) d y d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral iterada integral0^1integralx^2^x(2x+2y),dy,dx. O conteúdo aqui é integração dupla iterada, e vamos precisar primeiro integrar em y (variável interna) e depois em x (variável externa).

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y. Temos
integralx^2^x(2x+2y),dy = integralx^2^x2x,dy + integralx^2^x2y,dy

Passo 3

Para a primeira parte integral2x,dy, como x é constante em relação a y,
integralx^2^x2x,dy = 2xl[yr]y=x^2^y=x = 2xl(x - x^2r)

Passo 4

Para a segunda parte integral2y,dy,
integralx^2^x2y,dy = l[y^2r]y=x^2^y=x = x^2 - (x^2)^2 = x^2 - x^4

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos a função de x
integralx^2^x(2x+2y),dy = 2x(x - x^2) + (x^2 - x^4) = 2x^2 - 2x^3 + x^2 - x^4 = 3x^2 - 2x^3 - x^4

Passo 6

Agora integramos essa expressão em x de 0 a 1:
integral0^1l(3x^2 - 2x^3 - x^4r)dx

Passo 7

Calculamos a antiderivada:
integral(3x^2 - 2x^3 - x^4)dx = x^3 - x^42 - x^55 + C

Passo 8

Avaliaremos de 0 a 1:
l[x^3 - tfracx^42 - tfracx^55r]0^1 = l(1 - tfrac12 - tfrac15r) - 0 = 1 - tfrac12 - tfrac15 = tfrac310

Resposta

tfrac310

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