Estude o sinal das seguintes funções. Determine também os intervalos de crescimento e decrescimento das mesmas (através do estudo do sinal da derivada). Use outras técnicas que você preferir, se preciso, para tracar seus gráficos.
y=1-x-2 x^2

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer estudar o sinal da função y=1-x-2x^2 (onde ela é positiva, zero ou negativa) e também ver onde ela cresce ou decresce usando o sinal da derivada.

Passo 2

Como é uma função quadrática, encontramos as raízes resolvendo 1 - x - 2x^2 = 0. Reescrevendo: 2x^2 + x - 1 = 0 Pela fórmula de Bhaskara: x = -1 pm raiz1 + 82cdot2 = -1 pm 34, ou seja, x = -1 e x = tfrac12.

Passo 3

Para saber onde y é positiva ou negativa, lembramos que o coeficiente de x^2 é -2, logo a parábola abre para baixo. Isso implica: y>0 entre as raízes e y<0 fora delas. Concluímos que y>0 para xin(-1,tfrac12) e y<0 em ( -infty,-1)cup(tfrac12,infty).

Passo 4

Agora vamos ao estudo de monotonicidade calculando a derivada:
y' = ddx(1 - x - 2x^2) = -1 - 4x

Passo 5

Analisando o sinal de y':
  • Para y'>0: -1 - 4x > 0 x < -tfrac14.
  • Para y'<0: x > -tfrac14.
    Assim, a função cresce em ( -infty,-tfrac14) e decresce em ( -tfrac14,infty).

Resposta

A função é positiva em xin(-1,tfrac12), nula em x=-1 e x=tfrac12, e negativa em ( -infty,-1)cup(tfrac12,infty). Ela cresce no intervalo ( -infty,-tfrac14) e decresce em ( -tfrac14,infty).

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