Calcule, caso a série seja convergente, a soma da série dada.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a soma da série sumn=2^inftyl(tfrac13r)^n. Isso é uma série geométrica infinita com razão r=tfrac13 e índice começando em 2. Como |r|<1, ela converge e podemos usar a fórmula da soma de séries geométricas.

Passo 2

A teoria diz que, para |r|<1, vale sumn=0^inftyr^n = tfrac11-r. Como nossa série começa em n=2, ajustamos assim:
sumn=2^inftyr^n = sumn=0^inftyr^n - r^0 - r^1

Passo 3

Aplicando para r=tfrac13: primeiro
$$\sum_{n=0}{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)n = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{3}} = \frac{3}{2}.
sumn=0^inftyl(tfrac13r)^n = 11 - tfrac13 = 32 í\frac{3}{2} - 1 - \frac{1}{3}.$$

Passo 4

Agora é só fazer as contas com denominador comum 6:
32 = 96, 1 = 66, 13 = 26.
Logo
$$\frac{9}{6} - \frac{6}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}.
$$
Portanto a soma da série é 96 - 66 - 26 = 16 .

Resposta

tfrac16

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