Derive e simplifique.
y=3^x

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Temos a função exponencial y=3^x e queremos encontrar a derivada y'. Esse tópico faz parte de derivadas de funções exponenciais e usamos a regra da cadeia junto com propriedades de logaritmos.

Passo 2

Reescrevendo a base 3 em termos de exponencial natural: Para derivar fica mais fácil usar que qualquer exponencial a^x pode ser escrita como 3^x = e^x,ln(3). Assim,

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia: A derivada de e^u(x) é e^u(x) cdot u'(x). Aqui u(x)=x,ln(3), então
ddx3^x = ddxe^x,ln(3) = e^x,ln(3) cdot ddx(x,ln(3))

Passo 4

Derivando u(x): Como ln(3) é constante, temos ddx(x,ln(3)) = ln(3). Portanto,
ddx3^x = e^x,ln(3) cdot ln(3)

Passo 5

Simplificando de volta para base 3: Voltando à forma original, e^x,ln(3)=3^x. Então
ddx3^x = 3^x ln(3)

Resposta

dydx = 3^x ln(3)

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