Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere a>0.
integral0^infty d xx^2+1=pi2

Passo 1

O enunciado pede para provar que a integral de 0 a ∞ de 1/(x²+1) vale π/2 usando o Teorema dos Resíduos. Esse é um problema de análise complexa: vamos estender a função ao plano complexo, escolher um contorno adequado e calcular resíduos em polos simples.

Passo 2

Definimos a função f(z)=1/(z²+1). Ela tem polos simples em z=i e z=–i. Como vamos integrar no semiplano superior, só o polo em z=i ficará dentro do contorno.

Passo 3

Escolhemos o contorno CR formado pelo segmento real de –R a R e pelo semicírculo γR de raio R no semiplano superior. A ideia é aplicar o Teorema dos Resíduos a esse caminho fechado e depois fazer R→∞.

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos temos
ointCRdzz^2+1=2pi isumRes(f;polos internos)
No semiplano superior, o único polo interno é z=i.

Passo 5

Como z=i é um polo simples, calculamos
Resl(f; ir)=limzto i(z-i)1z^2+1=12i

Passo 6

A integral sobre o contorno se decompõe em parte real e parte de arco:
ointCRdzz^2+1=integral-R^Rdxx^2+1+integralgammaRdzz^2+1
Pelo Teorema dos Resíduos, o lado esquerdo vale 2πi·(1/(2i))=π.

Passo 7

Pelo Lema de Jordan mostramos que
limRtoinftyintegralgammaRdzz^2+1=0
pois no arco |z|=R temos |z²+1|≥R²–1 e |dz|=R dθ, fazendo a contribuição do arco decair com R.

Passo 8

Fazendo R→∞ na decomposição, obtemos
integral-infty^inftydxx^2+1=pi
Como a função é par, concluímos que
integral0^inftydxx^2+1=12integral-infty^inftydxx^2+1=pi2

Resposta

pi2

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