Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a integral de 0 a ∞ de 1/(x²+1) vale π/2 usando o Teorema dos Resíduos. Esse é um problema de análise complexa: vamos estender a função ao plano complexo, escolher um contorno adequado e calcular resíduos em polos simples.
Passo 2
Definimos a função f(z)=1/(z²+1). Ela tem polos simples em z=i e z=–i. Como vamos integrar no semiplano superior, só o polo em z=i ficará dentro do contorno.
Passo 3
Escolhemos o contorno CR formado pelo segmento real de –R a R e pelo semicírculo γR de raio R no semiplano superior. A ideia é aplicar o Teorema dos Resíduos a esse caminho fechado e depois fazer R→∞.
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos temos
No semiplano superior, o único polo interno é z=i.
Passo 5
Como z=i é um polo simples, calculamos
Passo 6
A integral sobre o contorno se decompõe em parte real e parte de arco:
Pelo Teorema dos Resíduos, o lado esquerdo vale 2πi·(1/(2i))=π.
Passo 7
Pelo Lema de Jordan mostramos que
pois no arco |z|=R temos |z²+1|≥R²–1 e |dz|=R dθ, fazendo a contribuição do arco decair com R.
Passo 8
Fazendo R→∞ na decomposição, obtemos
Como a função é par, concluímos que