Um subconjunto
do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos
que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o conjunto de pontos s no plano complexo que satisfazem $ |s - 2 + j| \le 1 $ e dizer se isso é um domínio (isto é, aberto e conexo). O conteúdo envolve geometria no plano complexo (discos) e a definição de domínio.
Passo 2
Escrevendo
, temos
e portanto
Passo 3
Isso mostra que o conjunto é o disco fechado de raio 1 e centro no ponto
do plano real (onde
e
).
No esboço, desenha-se o círculo de centro e raio 1 e sombreia-se todo o interior, incluindo a fronteira, pois a desigualdade é “
”.
No esboço, desenha-se o círculo de centro
Passo 4
Todo disco (mesmo fechado) é conexo, mas não é aberto porque inclui sua fronteira. Logo, o conjunto não é um domínio.
Resposta
O conjunto é o disco fechado de centro em (2,−1) e raio 1; é conexo mas não é aberto, portanto não é um domínio.