Calcule, caso a série seja convergente, a soma da série dada.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
S=sumn=1^+inftyl(13^n+14^nr)
Esse problema envolve séries geométricas, e para resolvê-lo vamos precisar da fórmula de soma de uma série geométrica sumn=1^infty r^n=r1-r válida quando |r|<1.

Passo 2

Primeiro, verificamos a convergência de cada termo geométrico. Como os módulos das razões são tfrac13<1 e tfrac14<1, ambas as séries
sumn=1^infty13^n, sumn=1^infty14^n
convergem.

Passo 3

Em seguida, separamos a soma em duas partes:
S=sumn=1^infty13^n+sumn=1^infty14^n=:S1+S2

Passo 4

Calculamos cada uma usando a fórmula geométrica:
S1=sumn=1^infty13^n=tfrac131-tfrac13=1/32/3=12,
S2=sumn=1^infty14^n=tfrac141-tfrac14=1/43/4=13

Passo 5

Por fim, somamos os resultados:
S=S1+S2=12+13=3+26=56

Resposta

56

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